Wzory redukcyjne

[matemaniak508]

W szkole na lekcji udowadnialiśmy prawdziwość wzorów redukcyjnych rysując w układzie współrzędnych kąty i wyciągając wnioski odnośnie wartości. Rozpatrywany kąt alfa był jednak ostry. Jak pokazać że wzory te (w powszechnie znanej postaci) są prawdziwe dla dowolnego kąta alfa.(na podstawie definicji funkcji trygonometrycznych)?

[Freddy Eliot]

Najszybciej to chyba korzystając z tożsamości trygonometrycznych:

\(\displaystyle{ \\ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \\ \\ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\sin\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \\ \\ \tg(\alpha+\beta) = \frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}, \hspace{15} \cos\alpha\cdot\cos\beta\neq 0 \wedge \cos(\alpha+\beta)\neq 0 \\ \\ \ctg(\alpha+\beta) = \frac{\ctg\alpha\ctg\beta-1}{\ctg\alpha+\ctg\beta}, \hspace{15} \sin\alpha\cdot\sin\beta\neq 0 \wedge \sin(\alpha+\beta)\neq 0 \\ \\ \tg(\alpha -\beta) = \frac{\tg\alpha -\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}, \hspace{15} \cos\alpha\cdot\cos\beta\neq 0 \wedge \cos(\alpha -\beta)\neq 0 \\ \\ \ctg(\alpha -\beta) = \frac{\ctg\alpha\ctg\beta +1}{\ctg\alpha -\ctg\beta}, \hspace{15} \sin\alpha\cdot\sin\beta\neq 0 \wedge \sin(\alpha -\beta)\neq 0 \\}\)

[matemaniak508]

Ale:
1 Chciałbym wyjść od poziomu definicji (czyli ewentualnie dowieść te twierdzenia)
2 Jak wyglądałby ten dowód, gdyby wykorzystać te tożsamości?

[Freddy Eliot]

Innym sposobem mogłoby być narysowanie takich tożsamości i zauważenie, że są równe innym, np. rysujesz funkcję \(\displaystyle{ \sin(\pi+\alpha)}\) i zauważasz, że jest ona równa \(\displaystyle{ -\sin\alpha.}\)
Z koleji dla \(\displaystyle{ \sin(2\pi+\alpha)=\sin\alpha}\) nie ma czego dowodzić, ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe. Dlatego wszystkie kąty większe od \(\displaystyle{ 360^{\circ}}\) będą redukowane.
Dowodząc z tożsamości: np. dla \(\displaystyle{ \sin(\pi+\alpha)}\) korzystamy ze wzoru: \(\displaystyle{ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta,}\) tzn. \(\displaystyle{ \alpha}\) możemy zostawić,a pod \(\displaystyle{ \beta}\) podstawić \(\displaystyle{ \pi.}\) Po wyliczeniu ładnie się powinno wszystko skrócić i wyjść \(\displaystyle{ -\sin\alpha.}\)
Dowodząc w ten sposób nie wprowadzamy żadnych założeń dotyczących wielkości kąta \(\displaystyle{ \alpha,}\) zatem może być on dowolny.

[pyzol]

Jeśli chodzi o definicję typu: jest to stosunek przyprostokątnej....
to daleko nie zajdziesz bo mamy tutaj mowę o kącie ostrym. To co miałeś wprowadzone, to pewne uogólnienie (nie jedyne).
Wyprowadzę wzór na sumę sinusów. Znaczy Ty wyprowadzisz. Narysuj sobie trójkąt i zaznacz wysokość h. Wysokość dzieli kąt o ramionach \(\displaystyle{ a,b}\) na kąty \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\).
Mamy więc:
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{h}{a},\cos\beta=\frac{h}{b}\\
*h=a\cos\alpha,h=b\cos\beta}\)
Teraz policzmy pole trójkąta ze z sinusem, z jednej strony mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta)}\)
Z drugiej mamy sumę pól dwóch trójkątów:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah\sin\alpha+\frac{1}{2}bh\sin\beta}\)
Podstawiając pod h gwiazdkę otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab\sin\alpha\cos\beta+\frac{1}{2}ab\sin\beta\cos\alpha}\)
Przyrównując te pola otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta)=\frac{1}{2}ab\sin\alpha\cos\beta+\frac{1}{2}ab\sin\beta\cos\alpha}\)
Po podzieleniu stronami przez \(\displaystyle{ ab}\) i pomnożeniu przez \(\displaystyle{ 2}\) otrzymasz ten wzór.
Natomiast sugerowałbym Ci przyjąć nową definicję sinusa i cosinusa z układu współrzędnych. W szczególności dla pierwszej ćwiartki otrzymasz stare definicje. Z tych definicji od razu widać wzory redukcyjne.