Równanie trygonometryczne

[Sidu]

Witam mam problem z dość łatwo wyglądającym zadaniem.

\(\displaystyle{ tgx = 2sinx}\)

Prosze o pomoc

[piasek101]

A co już zrobiłeś ?

[Sidu]

Naczy zmienić sinus na \(\displaystyle{ \frac{\tg x }{ \ctg x}}\) to nie problem, chce poprostu zobaczyć w całości jak ktoś to rozwiązuje, bo nie mam pojęcia co z tym zrobić

[piasek101]

1) Dziedzina.

2) Zamienić tangensa na iloraz odpowiednich funkcji.

3) wszystko na lewą.

4) wyłączyć sinusa przed nawias.

4) przyrównać czynniki do zera

5) kończyć (uwzględnić dziedzinę).

[Sidu]

wynik to \(\displaystyle{ \sin x= 0}\) lub \(\displaystyle{ \cos x = \frac{1}{2}}\) ??

\(\displaystyle{ \frac{sinx}{cosx} = 2sinx}\)

\(\displaystyle{ \frac{sinx}{cosx} - 2sinx = 0}\)

\(\displaystyle{ sinx( \frac{1}{cosx} - 2) = 0}\)

\(\displaystyle{ sinx = 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{cosx} = 2}\)

\(\displaystyle{ cosx = \frac{1}{2}}\)


ale chyba nie mozna zrobić takiej zamiany w 2 ostatnich linijkach

[pawellogrd]

To wynik częściowy, musisz jeszcze wyznaczyć konkretnie \(\displaystyle{ x}\)

\(\displaystyle{ sinx( \frac{1}{cosx} - 2) = 0}\)

\(\displaystyle{ sinx=0 \vee \frac{1}{cosx} - 2=0}\)

\(\displaystyle{ sinx=0 \vee \frac{1}{cosx}=2 |\cdot \cos x}\) jak najbardziej można tak (nie można by było przy nierówności, bo nie wiadomo by było jakiego znaku jest cosinus, a to ma wpływ na kierunek nierówności)

\(\displaystyle{ sinx=0 \vee 1=2 \cos x}\)

\(\displaystyle{ sinx=0 \vee \cos x=\frac{1}{2}}\)

I teraz wyznacz \(\displaystyle{ x}\)

[Sidu]

no tak ale dzielisz przez \(\displaystyle{ \cos x}\)... co jeśli \(\displaystyle{ x = 0}\)?

[piasek101]

no tak ale dzielisz przez cosx... co jeśli x = 0?

Pisałem ,,1) Dziedzina."

Zatem gdy to zrobisz będziesz miał niezerowego cosinusa.

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) cosinus nie jest zerem.