Rozwiazać równanie

[streetfighter66]

\(\displaystyle{ 5 ^{\sin ^{2}x }+ 5^{ \cos ^{2}x }=2 \sqrt{5}}\)
mógłby mi ktoś rozpisać po kolei ... ponieważ wiem że to trzeba zamienić ze wzorów .. tylko ja nei rozumiem wynonania tych przejść bardzo proszę jakby ktoś był łaskawy to proszę .

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ \cos^2 x=1-\sin^2 x}\) i podstawiasz \(\displaystyle{ 5^{\cos^2 x}=t}\) pamiętając o warunkach nałożonych na \(\displaystyle{ t}\)

[streetfighter66]

no ok też tak robiłam i nic mi z tego nie wychodzi

[szw1710]

Po dokonaniu odpowiednich przekształceń (przypomnij sobie prawa działań na potęgach) otrzymamy równanie kwadratowe.

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ 5^{1-\cos^2 x}+5^{\cos^2 x}=2\sqrt{5} \Leftrightarrow \frac{5}{5^{\cos^2 x}}+5^{\cos^2 x}=2\sqrt{5}}\)

[streetfighter66]

jak bym potrafiła je zastosować to nie prosiłabym o pomoc .. jak to włączyć pod \(\displaystyle{ 5^{sin ^{2}x }}\) za to t
i teraz \(\displaystyle{ t + 5 \cdot t ^{-1}}\)-- 11 lut 2012, o 21:51 --no tak i co dalej ?

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ 5^{1-\cos^2 x}+5^{\cos^2 x}=2\sqrt{5} \Leftrightarrow \frac{5}{5^{\cos^2 x}}+5^{\cos^2 x}=2\sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ \frac{5}{t}+t=2\sqrt{5} \Leftrightarrow t^2-2\sqrt{5}t+5=0 \Leftrightarrow (t-\sqrt{5})^2=0 \Leftrightarrow t=\sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ 5^{\cos^2 x}=5^{1/2}...}\)

[streetfighter66]

tak rozumiem to .. tylko jak teraz mamy zapisać rozwiazanie z tymi całymi 2K Pi itp

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ \cos^2 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \vee \cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \\ \cos x=\pm \frac{\pi}{4}+2k\pi \vee \cos x=\pm \frac{5\pi}{4}+2k\pi, k \in \mathbb{Z}}\), ew. możesz spróbować krócej to "zwinąć"