sin(ax - b) = sin(cx - d)

[chomzee]

Jak rozwiązywać takie równania typu \(\displaystyle{ sin(ax - b) = sin(cx - d)}\) (gdzie x jest niewiadomą)?

Podam dwa przykłady:

\(\displaystyle{ sin(x - {{\pi}\over{4}}) = sin(x - {{\pi}\over{2}})}\)

\(\displaystyle{ sin(x - {{\pi}\over{4}}) = sin(3x - {{\pi}\over{2}})}\)

Moim pierwszym odruchem było przyrównanie argumentów, jednak w ten sposób nie otrzymuję wszystkich rozwiązań.

Zaznaczę tylko, że w pierwszym przykładzie w przedziale (0; 2pi) mam 2 rozwiązania, natomiast w drugim aż 6 rozwiązań.

[Uzo]

a może by tak zastosować wzór na sinus różnicy i .... bawić się

[Lorek]

Prawdopodobnie zapominasz o 2 serii rozwiązań
\(\displaystyle{ \sin =\sin \beta\\\alpha=\beta+2k\pi \:\vee\:\alpha=\pi-\beta+2k\pi}\)

[chomzee]

Prawdopodobnie zapominasz o 2 serii rozwiązań
\(\displaystyle{ \sin =\sin \beta\\\alpha=\beta+2k\pi \:\vee\:\alpha=\pi-\beta+2k\pi}\)

Dobrze, ale pytanie brzmi: dlaczego w drugim przykładzie, który przytoczyłem jest 6 rozwiązań i jak je obliczyć? Metodą, którą podałeś otrzymam przecież zaledwie 2 rozwiązania...

[Lorek]

I wychodzi
\(\displaystyle{ \sin (x-\frac{\pi}{4})=\sin (3x-\frac{\pi}{2})\\1.\: x-\frac{\pi}{4}=3x-\frac{\pi}{2}\\x=\frac{\pi}{8}+k\pi\\x\in\{\frac{\pi}{8};\frac{9\pi}{8}\}\\2.\: x-\frac{\pi}{4}=\pi-3x+\frac{\pi}{2}+2k\pi\\x=\frac{7\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}\\x\in\{\frac{7\pi}{16};\frac{15\pi}{16};\frac{23\pi}{16};\frac{31\pi}{16}\}}\)

[chomzee]

Racja, bardzo dziękuję, pozdrawiam!