Rozwiąż równanie trygonometryczne

[marian350z]

Witam. Mam problem w rozwiązaniu równania:
\(\displaystyle{ (\cos{x}-\sin{x})^{2}+\tg{x}=2*\sin^{2}x}\)

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia oraz na sinusa i cosinusa podwojonego argumentu doprowadzam do postaci:

\(\displaystyle{ \sin{2x}+\cos{2x}=\tg{x}}\)

Jak to dalej ruszyć?

[octahedron]

\(\displaystyle{ x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\\
(\cos{x}-\sin{x})^{2}+\tg{x}=2\sin^{2}x\\
(\cos{x}-\sin{x})^{2}\cos x+\sin x=2\sin^{2}x\cos x\\
(1-2\sin x\cos{x})\cos x+\sin x-2\sin^{2}x\cos x=0\\
(1-2\sin x\cos{x})\cos x+(1-2\sin x\cos x)\sin x=0\\
(1-2\sin x\cos{x})(\cos x+\sin x)=0\\
(1-\sin 2x)(\cos x+\sin x)=0\\}\)
no i chyba już łatwo

[chris_f]

Trochę na siłę, ale idzie: korzystamy ze wzorów
\(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}\
\sin\alpha=\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}}\)
wtedy dla \(\displaystyle{ \alpha=2x}\) dostaniemy
\(\displaystyle{ \sin2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2x}\ \cos2x=\frac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}}\)
Podstawiając to do równania otrzymamy
\(\displaystyle{ \tan x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2x}+\frac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}\Big|\cdot(1+\tan^2x)}\)
\(\displaystyle{ \tan x+\tan^3x=2\tan x+1-\tan^2x}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ \tan x=t}\) i porządkujemy
\(\displaystyle{ t^3+t^2-t-1=0}\)
Jeden pierwiastek to \(\displaystyle{ 1}\), dzielimy i wracamy do \(\displaystyle{ x}\).