równanie tryg.

[Przemkooo]

1.Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ 4(log_{2}cosx)^2 + log_{2}(1+cos2x) = 3}\)

2.Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ sin(\pi logx) + cos( \pi logx) = 1}\)

3.Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ ({1 \over 2})^{log_{{1 \over 2}}^2 sinx} + (sinx)^log_{{1 \over 2}sinx} = 1}\)

[baksio]

1.Dziedzina:
\(\displaystyle{ cosx>0 \wedge 1+cos2x>0}\)
\(\displaystyle{ 4(log_2cosx)^2 +log_2(sin^2x + cos^2x + cos^2x - sin^2x)=3}\)
\(\displaystyle{ 4(log_2cosx)^2 + log_2(2cos^2x) = 3}\)
\(\displaystyle{ 4(log_2cosx)^2 + log_22 + log_2cos^2x = 3}\)
\(\displaystyle{ 4(log_2cosx)^2 + 1 + 2log_2cosx =3}\)
\(\displaystyle{ 4(log_2cosx)^2 + 2log_2cosx -2=0}\)
Zmienna pomocnicza:
\(\displaystyle{ log_2cosx=t}\)
Jako że \(\displaystyle{ cosx}\) przyjmuje tylko wartości od \(\displaystyle{ }\) to \(\displaystyle{ 2^t\geq -1 \wedge 2^t\leq1}\)
Czyli \(\displaystyle{ t \in (-\infty,0>}\)
\(\displaystyle{ 4t^2 + 2t -2 =0}\)
\(\displaystyle{ t_1=-1}\)
\(\displaystyle{ t_2=\frac{1}{2}}\) to rozwiązanie odpada.
\(\displaystyle{ log_2cosx=-1}\)
\(\displaystyle{ cosx =\frac{1}{2}}}\)

2. Dziedzina \(\displaystyle{ x>0}\)
\(\displaystyle{ sin(\pi logx) + sin(\frac{\pi}{2} - \pi logx) = 1}\)
\(\displaystyle{ 2sin\frac{(\pi logx + \frac{\pi}{2} - \pi logx)}{2}*cos\frac{(\pi logx-\frac{\pi}{2} + \pi logx)}{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}*cos(\pi logx - \frac{\pi}{4}) = 1}\)
\(\displaystyle{ cos(\pi logx - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \pi logx - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \pi logx - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi}\)
\(\displaystyle{ logx = 2k + \frac{1}{2} logx=2k}\)
\(\displaystyle{ x=10^{2k+\frac{1}{2}} x=10^{2k}}\) gdzie \(\displaystyle{ k C}\)

[Lorek]

3.
\(\displaystyle{ \sin x>0\\\\\left(\frac{1}{2}\right)^{\log^2_\frac{1}{2} \sin x}+(\sin x)^{\log_\frac{1}{2}\sin x}=1\\\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_\frac{1}{2} \sin x}\right]^{\log_\frac{1}{2} \sin x}+(\sin x)^{\log_\frac{1}{2}\sin x}=1\\(\sin x)^{\log_\frac{1}{2} \sin x}+(\sin x)^{\log_\frac{1}{2} \sin x}=1\\(\sin x)^{\log_\frac{1}{2} \sin x}=\frac{1}{2}}\)

Jak łatwo zauważyć \(\displaystyle{ \sin x=1}\) nie spełnia równania, więc można zlogarytmować \(\displaystyle{ \log_{\sin x} (...)}\)

\(\displaystyle{ \log_\frac{1}{2} \sin x=\log_{\sin x}\frac{1}{2}\\\log_\frac{1}{2} \sin x=\frac{1}{\log_\frac{1}{2}\sin x}}\)
teraz wstawiasz zmienną itd.

[mat1989]

Lorek, możesz powiedzieć jaki wzór zastosowałeś, że w 3 linijce przeszedłeś z 1/2 to sinusa?

[Lorek]

Ty co, archeolog? \(\displaystyle{ a^{\log_a b}=b}\)

[mat1989]

tak fakt, sorry ta potęga jeszcze jedna mnie zmyliła.

Ty co, archeolog?

nie poprostu tak znalazłem temat który mi był przydatny przeglądam rozwiązanie i nagle zacząłem coś kręcić ;/ Może za szybko napisałem tego posta a sobie tego dokładnie nie rozpisałem sorry.