Równania

[SoulOfButterfly]

a) cos^2(2x)+4cos^2(x)=2
b)5sinx - (3/sinx)=2
c)sinx+cosx+2cosxsinx=1

Proszę o rozwiązania "Krok po kroku".

[Tristan]

Post jest czytelny, jednak radzę zapoznać się z LaTeX-em.
a) Będę tutaj korzystał z wzoru \(\displaystyle{ \cos 2x= 2 \cos^2 x -1}\).
\(\displaystyle{ \cos^2 2x + 4 \cos^2 x=2 \\ ( 2 \cos^2 x -1)^2 + 4 \cos^2 x =2 \\ 4 \cos^4 x - 4 \cos^2 x +1 + 4 \cos^2 x =2 \\ 4 \cos^4 x =1 \\ \cos^4 x =\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \cos^2 x= \frac{1}{2} \cos^2 x =-\frac{1}{2}}\) - drugie równanie oczywiście odpada, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny
\(\displaystyle{ \cos^2 x= \frac{1}{2} \\ \cos x =\frac{ \sqrt{2}}{2} \cos x = - \frac{ \sqrt{2}}{2}}\)
Myślę, że dalej sobie poradzisz. Jeśli jednak miałbyś problem, to skorzystaj wprost z definicji:
Równanie \(\displaystyle{ \cos x =a}\) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a }\). Niech \(\displaystyle{ a }\) i niech \(\displaystyle{ x_{0}}\) będzie tym rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ \cos x=a}\), które należy do przedziału \(\displaystyle{ }\). Wówczas \(\displaystyle{ \ cos x=a x=-x_{0} + 2 k \pi x=x_{0} + 2k \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k \mathbb{Z}}\). Zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) oznacza liczby całkowite.
b) Podstawowe założenie, to \(\displaystyle{ \sin x 0}\). Mamy równanie \(\displaystyle{ 5 \sin x - \frac{3}{ \sin x}=2}\). Przemnóżmy je obustronnie przez \(\displaystyle{ \sin x}\). Otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ 5 \sin^2 x - 2 \sin x -3=0}\). Podstawmy \(\displaystyle{ \sin x=t}\), gdzie \(\displaystyle{ t }\). Mamy więc zwykłe równanie kwadratowe \(\displaystyle{ 5t^2 - 2t-3=0}\), którego rozwiązaniami są \(\displaystyle{ t_{1}=-\frac{3}{5}, t_{2}=1}\) i spełniają one założenia. Czyli \(\displaystyle{ \sin x=-\frac{3}{5} \sin x =1}\). Dalej już sobie poradzisz. Jednak czy aby na pewno dobrze przepisałeś treść zadania? Pytam ze względu na równanie \(\displaystyle{ \sin x=-\frac{3}{5}}\).

[baksio]

c)na początku \(\displaystyle{ sin^2x + cos^2x = 1}\)
\(\displaystyle{ sinx + cosx = sin^2x -2sinxcosx + cos^2x}\)
\(\displaystyle{ sinx + cosx = (sinx - cosx)^2}\)
Teraz stosujemy wzory redukcyjne czyli \(\displaystyle{ cosx = sin(\frac{\pi}{2} -x )}\)
\(\displaystyle{ sinx + sin(\frac{\pi}{2}-x) = (sinx-sin(\frac{\pi}{2}-x))^2}\)
Teraz zastosujemy wzory na sumę sinusa:
\(\displaystyle{ sinx + sin(\frac{\pi}{2}-x)=2sin\frac{x+\frac{\pi}{2}-x}{2}*cos\frac{x-\frac{\pi}{2} + x}{2} = \sqrt{2}cos(x-\frac{\pi}{4})}\)
Teraz wzór na różnice:
\(\displaystyle{ sinx - sin(\frac{\pi}{2}-x)= 2sin\frac{x-\frac{\pi}{2}+x}{2}*cos\frac{x+\frac{\pi}{2} - x}{2} = \sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4})}\)
Więc mamy takie równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}cos(x-\frac{\pi}{4})=(\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4}))^2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}cos(x-\frac{\pi}{4})= 2*sin^2(x-\frac{\pi}{4})}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}cos(x-\frac{\pi}{4})= 2*(1-cos^2(x-\frac{\pi}{4})}\)
Po wymnożeniu i przeniesieniu na jedną stronę dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ 2cos^2(x-\frac{\pi}{4}) + \sqrt{2}cos(x-\frac{\pi}{4}) - 2 =0}\)
Wstawiamy zmienną pomocniczą:
\(\displaystyle{ cos(x-\frac{\pi}{4}) = t \quad t }\)
Rozwiązujemy równanie:
\(\displaystyle{ 2t^2 + \sqrt{2}t-2=0}\)
\(\displaystyle{ t_{1}=-\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ t_{2}= \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Pierwsze rozwiązanie nie zawiera się w przedziale \(\displaystyle{ }\). Zostaje tylko drugie czyli:
\(\displaystyle{ cos(x-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Jest to podstawowe równanie trygonometryczne:
\(\displaystyle{ x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4} + 2k\pi}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2} + 2k\pi x=2k\pi}\)