Ile wynosi wartość funkcji dla argumentu

[matematykapl]

Dla jakiego argumentu wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x) = - \left( \cos \frac{1}{2}x + 2 \right) + 1}\) wynosi \(\displaystyle{ -1 - \frac{1}{2}\sqrt{2}}\)?

Wyszło mi, że dla argumentu równego: \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{2} \wedge \frac{\pi}{2}}\) - tak będzie? Nie wiem, czy dobrze narysowałem, przekształcając funkcję \(\displaystyle{ \cos x}\). Ta funkcja będzie przyjmowała wartości od \(\displaystyle{ -2}\) do \(\displaystyle{ 2}\)?

[mario54]

Źle. Zrób tak:
\(\displaystyle{ -(\cos \frac{1}{2}x + 2) + 1 = -1 - \frac{1}{2}\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ -\cos \frac{1}{2}x -2 +1= -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos \frac{1}{2}x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x = t}\)
\(\displaystyle{ \cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

itd. Po za tym w odpowiedzi spójnik lub a nie i.

[matematykapl]

Wiem, że spójnik, ale chciałem szybciej. Ja mam do tego zadania cztery odpowiedzi, które brzmią: \(\displaystyle{ \pi; - \frac{1}{2}\pi; \frac{\pi}{2} lub 2\pi}\). I co tu teraz będzie?

[mario54]

To rozwiąż to równanie i zobacz co pasuje
\(\displaystyle{ \cos t= \frac{\sqrt{2}}{2}}\) dla \(\displaystyle{ t=\frac{\pi}{4} + 2k\pi \vee t= \frac{7}{4}\pi + 2k\pi ; k \in C}\)

[matematykapl]

Nie rozumiem, pogubiłem się w tym. Nie łatwiej narysować i odczytać? IMO to będzie \(\displaystyle{ -0,5\pi \wedge \frac{\pi}{2}}\)

[mario54]

Możesz narysować ale czy łatwiej to nie wiem.
Wykres to dwukrotnie rozciągnięty cosinus przesunięty o 2 jednostki w lewo oraz 1 do góry a na koniec odbity symetralnie względem osi OX.

Natomiast doprowadzając równanie do końca otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x= \frac{\pi}{4} + 2k\pi \vee \frac{1}{2}x= \frac{7}{4}\pi + 2k\pi ; k \in C}\)
czyli \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2} + k\pi ; k \in C \vee \frac{7}{2}\pi + k\pi ; k \in C}\)co się zwinie z okresowości cosinusa w
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2} + k\pi ; k \in C}\) czyli tak jak Ty masz

[matematykapl]

Poczekaj, bo coś źle myślałem. Czyli, że tej funkcji nie da się uprościć i wtedy: \(\displaystyle{ -(\cos \frac{1}{2}x + 2) + 1 \neq -\cos \frac{1}{2}x - 1}\)? To jest błędem, trzeba przesunąć o dwie w lewo a potem o jedną do góry, jak mówisz? Już się w tym pogubiłem. Czyli, że nie można opuścić tego nawiasu?

[mario54]

Można to będzie taki sam wykres

[matematykapl]

Dzięki, że mi pomagasz. Narysowałem to i mam na rysunku, że te argumenty to będą: \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}\pi; \frac{\pi}{2}}\) I to będą te dwie odpowiedzi, czy ta bez minusa?

[mario54]

\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2} + k\pi ; k \in C}\)

Te dwie. Wstawisz \(\displaystyle{ k=0}\) masz \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) wstawisz \(\displaystyle{ k=-1}\) dostaniesz \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}}\) i tak możesz sobie wstawiać co chcesz, ale na potrzeby zadania to tylko te dwie odpowiedzi.

[matematykapl]

No tak, wielkie dzięki.-- 3 lut 2012, o 16:46 --A jeszcze jedno pytanie - dlaczego \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} + k\pi}\) a nie \(\displaystyle{ + 4k\pi}\)?