Dziedzina funkcji i przedziały monotoniczności

weronika00017 · Post autor: **weronika00017** » 1 lut 2012, o 19:28

Witam,
należy wyznaczyć dziedzinę funkcji i przedziały monotoniczności. Nie mam bladego pojęcia jak to zrobić. Proszę pomóżcie..
\(\displaystyle{ y=-x ^{3}+3x ^{2}+24x}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 1 lut 2012, o 21:25

Dziedzina - to wielomian (poszukaj).

Monotoniczność - na początek policz pierwszą pochodną.

weronika00017 · Post autor: **weronika00017** » 2 lut 2012, o 12:21

\(\displaystyle{ D _{f}= R}\)??
Nie wiem jak się liczy tą pochodną, możesz mi w prosty sposób wyjaśnić??

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 2 lut 2012, o 13:30

To elementarna funkcja do liczenia pochodnej - poczytaj jak robić, wyznacz i pokaż nam.

Korzystasz z :
1)\(\displaystyle{ (ax^n)'=anx^{n-1}}\) (liczona po x-sie)

2) pochodna sumy to suma pochodnych.

weronika00017 · Post autor: **weronika00017** » 2 lut 2012, o 14:35

Wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ y\prime=(-x^{3})\prime+(3x^{2})\prime+(24x)\prime=(-1 \cdot 3 \cdot x^{3-1})+(3 \cdot 2 \cdot x^{2-1})+(24 \cdot 1 \cdot x^{1-1})=-3x^{2}+6x+24}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 2 lut 2012, o 22:09

weronika00017 · Post autor: **weronika00017** » 2 lut 2012, o 22:21

Dla \(\displaystyle{ y\prime>0}\) funkcja jest rosnąca
Dla \(\displaystyle{ y\prime<0}\) funkcja jest malejąca
Dla \(\displaystyle{ y=0}\) - liczymy ekstrema funkcji
\(\displaystyle{ x _{1}=-2}\) , \(\displaystyle{ x _{2}=4}\)
I co dalej mam z tym zrobić??

sirostr · Post autor: **sirostr** » 2 lut 2012, o 22:22

Masz trójmian kwadratowy więc naszkicuj sobie jego wykres i masz już wszystko.

weronika00017 · Post autor: **weronika00017** » 3 lut 2012, o 18:55

Czyli ostatecznie:
dla \(\displaystyle{ x\in(- \infty ,-2), y\prime<0}\) czyli funkcja y maleje w tym przedziale
dla \(\displaystyle{ x\in(-2,4), y\prime>0}\) czyli funkcja y rośnie w tym przedziale
dla \(\displaystyle{ x \in (4, \infty ), y\prime<0}\) czyli funkcja y maleje w tym przedziale.
A co z ekstremami?? To są miejsca zerowe pochodnej, tak?? Czy muszę rysować wykres funkcji y żeby zobaczyć w którym jest maksimum a w którym minimum??
Jak narysowałam to wychodzi że \(\displaystyle{ x _{1}=-2}\) to minimum, a \(\displaystyle{ x_{2}=4}\) to maksimum, ale czy nie da się okreslić które miejsce zerowe to min a które max bez rysowania wykresu właściwej funkcji??

sirostr · Post autor: **sirostr** » 3 lut 2012, o 21:25

Jeśli pochodna zmienia znak z "+" na "-" to jest to maximum
Jeśli z "-" na "+" to minimum

weronika00017 · Post autor: **weronika00017** » 3 lut 2012, o 23:28

Czyli, te wcześniejsze wyniki są ok??
Pięknie dziękuję za pomoc