Sprawdzenie poprawności rozwiązania równania.

[dawid.barracuda]

Witam. Czy dobrze rozwiązałem poniższe równania (?):

\(\displaystyle{ 3tg( \frac{ \pi }{4}-x)= \sqrt{3}}\)

Podstawiam \(\displaystyle{ y}\):

\(\displaystyle{ tgy= \frac{ \sqrt{3} }{3} \Leftrightarrow y = \frac{ \pi }{6} + k \pi , k \in C}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} - x = \frac{ \pi }{6} + k \pi}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi }{12} - k \pi}\)

W odpowiedziach zamiast minusa jest plus przy \(\displaystyle{ k \pi}\). Czy jest gdzieś błąd czy jest to dopuszczalne? Z tego, co wiem to mogą być różne warianty odpowiedzi i nie ma to wpływu na poprawność. Jak jest teraz? Proszę o odpowiedzi i pozdrawiam.

[Nakahed90]

Jest dobrze, obie odpowiedzi są równoważne. Można u Ciebie dokonać podstawienia \(\displaystyle{ k:=-k}\), k jest całkowite i wyjdzie taka sama odpowiedź.

[dawid.barracuda]

A ten przykład jest ok (?):

\(\displaystyle{ ctg ^{2}(2x+ \frac{ \pi }{2})=3}\)
Podstawiam:
\(\displaystyle{ ctg ^{2}y= \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ ctgy = \sqrt{3} \vee - \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{ \pi }{6} + k \pi \vee y = \frac{5 \pi }{6} + k \pi}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6} + k \pi =2x+ \frac{ \pi }{2}}\)

\(\displaystyle{ x = - \frac{ \pi }{3} + \frac{k \pi }{2}}\)

lub:

\(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{6} + k \pi = 2x+ \frac{ \pi }{2} \Rightarrow x = - \frac{ \pi }{3}+ \frac{k \pi }{2}}\)

Jest dobrze?

[pawellogrd]

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6} + k \pi =2x+ \frac{ \pi }{2}}\)

\(\displaystyle{ x = - \frac{ \pi }{3} + \frac{k \pi }{2}}\)

W tym przejściu jest błąd. Jak na mój gust powinno być raczej:
\(\displaystyle{ x = - \frac{ \pi }{6} + \frac{k \pi }{2}}\)

Podobnie w drugim rozwiązaniu błąd jest analogiczny.