Wykaż nierówność

[anetus1712]

Wykaż, że:
\(\displaystyle{ x\cdot arcsinx \ge 1-\sqrt{1-x^{2}}\) dla \(\displaystyle{ x \in [-1, 1]}\)

[lukasz1804]

Rozważ funkcję \(\displaystyle{ f:[-1,1]\ni x\mapsto x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}}\). Zauważ, że jest to funkcja różniczkowalna i wykaż, że \(\displaystyle{ f'(x)=\arcsin x}\) dla \(\displaystyle{ x\in[-1,1]}\). Korzystając teraz z kryterium monotoniczności funkcji można wnioskować, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją malejącą na przedziale \(\displaystyle{ [-1,0]}\), a rosnącą na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\). Ponadto dla \(\displaystyle{ x=0}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga minimum globalne równe \(\displaystyle{ f(0)=1}\).
Wobec tego mamy \(\displaystyle{ f(x)\ge 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in[-1,1]}\).

[anetus1712]

Dziękuję. Nie wpadłabym na to sama;)