Równanie trygonometryczne dla zuchwałych, z życia wzięte

[pekaok]

Szczerze powiedziawszy nie jestem pewien, czy nie jest to dla Was dość trywialne zadanie... muszę przyznać, że pracuję jako inżynier i przyzwyczaiłem się do rozwiązywania takich problemów iteracyjnie. Ze względu na specyfikę programu, z którego teraz korzystam, potrzebuję "analityczne" rozwiązanie poniższego równania:

\(\displaystyle{ B \cdot sin(x) - C \cdot cos(x) + A = 0}\)

Może macie jakieś wskazówki...?

Z poważaniem,
pekaok

[loitzl9006]

Proponuję przenieść na prawo \(\displaystyle{ - C \cdot \cos (x) + A}\) , następnie podnieść obustronnie do kwadratu, potem przedstawić \(\displaystyle{ \sin ^{2} x}\) jako \(\displaystyle{ 1- \cos ^{2} x}\) ( z jedynki trygonometrycznej). Następnie podstawić \(\displaystyle{ \cos x = t}\) z zastrzeżeniem, że \(\displaystyle{ t \in \left\langle -1;1 \right\rangle}\) i rozwiązywać równanie kwadratowe (delta, miejsca zerowe, sprawdzenie, czy \(\displaystyle{ t}\) należy do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -1;1 \right\rangle}\), znaleźć \(\displaystyle{ x}\).

[szw1710]

Podstaw \(\displaystyle{ t=\sin x}\). Powiedzmy, że wiesz, że \(\displaystyle{ \cos x>0}\), wtedy \(\displaystyle{ \cos x=\sqrt{1-t^2}}\). Wtedy mamy równanie

\(\displaystyle{ Bt-C\sqrt{1-t^2}+A=0.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ C\sqrt{1-t^2}=Bt+A}\)

Podnosisz stronami do kwadratu i masz równanie kwadratowe.

Większych przemyśleń wymaga przypadek, gdy nie wiesz czy cosinus jest dodatni. Wtedy \(\displaystyle{ \sqrt{1-t^2}=}|\cos x|.}\)

W zagadnieniach inżynierskich z reguły poruszamy się w jakimś przedziale ze względu na \(\displaystyle{ x}\). A zatem wydaje mi się, że znajomość znaku cosinusa jest sprawą realną.

[pekaok]

No tak! Jutro przeniosę to na mój przypadek, musi zadziałać.

Co do przedziału x to nie będzie problemu - rozpatruję w tym przypadku tylko jeden obrót i mam możliwość skorzystania z funkcji warunkowych.

Jeszcze raz wielkie dzięki! Jak to mówią: "czasem ciężko dostrzec las, kiedy drzewa zasłaniają"

Z poważaniem,
pekaok