Funkcje trygonometryczne argumentami cyklometrycznych

[Kamulec]

Nie mam pomysłu, jak się za trzy przykłady zabrać. Proszę o pomoc w rozwiązaniu, przy czym będę wdzięczny przede wszystkim za rozpisanie metody dojścia do wyników.

Oblicz
a) \(\displaystyle{ \ctg \left( \arcsin \frac{1}{3} \right)}\)

b) \(\displaystyle{ \sin \left( \arcsin \frac{3}{5} + \arcsin \frac{8}{17} \right)}\)

c) \(\displaystyle{ \sin \left( \arctan 1 + \arctan 2 \right)}\)

(Przykłady pochodzą z listy zadań opracowanej przez dr Mariana Gewerta i doc. Zbigniewa Skoczylasa)

[DjFlash]

Zadowola Cię same wzory, czy potrzebujesz też ich wyprowadzenia?

a) \(\displaystyle{ \arcsin x = \arc ctg \frac{ \sqrt{1-x^2} }{x}}\)

b) \(\displaystyle{ \arcsin x+ \arcsin y = \arcsin (x \sqrt{1-y^2} +y \sqrt{1-x^2} )}\)

c) \(\displaystyle{ \arctan x+ \arctan y= \arctan \frac{x+y}{1-xy}}\),
potem
\(\displaystyle{ \arctan x = \arcsin \frac{x}{ \sqrt{1+x^2} }}\)

[tatteredspire]

DjFlash - są gdzieś w internecie wypisane tego typu wzory na arcusy? Nigdzie nie mogę ich znaleźć, a robienie przez sprowadzenie do funkcji sinus, cosinus, tangens, cotangens jest czasami uciążliwe i czasochłonne.

[DjFlash]

tatteredspire, wsumie to nigdy takich na necie nie szukałem. wiem w jakiej ksiązce są one wyprowadzone (nie wszystkie, ale wystarczająco, żeby mozna było sie tego nauczyć).

Wzory, ktore tutaj uzyłem poprostu sam przed chwila szybko wyprowadzilem.
Pierwszy z
\(\displaystyle{ \ctg x = \frac{ \sqrt{1-\sin^2 x} }{\sin x}}\),
drugi ze wzoru na sinus sumy katów, podstawiając za kosinusy pierwiastki z jedynki trygonometrcznej jak wyżej.
Trzeci ze wzoru na tangens sumy katów, czwarty podobnie jak pierwszy.

[Kamulec]

Czyli schemat wyprowadzania wzoru jest taki \(\displaystyle{ f1(x) = wyr\left(f2 (x))\right \Rightarrow arcf2(x) = wyr\left(arcf1 (x)\right)}\)?

[DjFlash]

Nie wiem czy dobrze rozumiem co chciales przekazac tym wyrazeniem, wiec udowodnie Ci jeden ze wzorow, powiedzmy pierwszy.

Przyjmujac
\(\displaystyle{ \alpha = \arcsin x}\),
\(\displaystyle{ \sin \alpha = x}\).

Ze wzoru
\(\displaystyle{ \ctg \alpha = \frac{ \sqrt{1-\sin^2 \alpha } }{\sin \alpha }= \frac{ \sqrt{1-x^2} }{x}}\),
czyli
\(\displaystyle{ \ctg \alpha = \frac{ \sqrt{1-x^2} }{x}}\).
Przeksztalcamy
\(\displaystyle{ \alpha = \arc ctg \frac{ \sqrt{1-x^2} }{x}}\).
Porownujemy stronami i dostajemy wzor
\(\displaystyle{ \arcsin x = \arc ctg \frac{ \sqrt{1-x^2} }{x}}\).


Oczywiscie caly wzor potrzebuje zalozen co do \(\displaystyle{ x}\), u nas
\(\displaystyle{ -1 \le x \le 1}\).