najmniejsza wartość

[matematyk1995]

Dla jakiego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) suma \(\displaystyle{ \sin \alpha + \cos \alpha}\) przyjmuje wartość najmniejszą? proszę o pomoc.

[tatteredspire]

Wskazówka: \(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alpha =\cos (\frac{\pi}{2}- \alpha )+\cos \alpha =2\cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos (\frac{\pi}{4}- \alpha )=\sqrt{2} \cdot \cos (\frac{\pi}{4}- \alpha )}\)

[KubabuK]

Zostałem uprzedzony. Ja bym to zrobił podobnie, tyle, że:
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\sin\left( \frac{\pi}{2}-\alpha\right)}\)
Z tej własności wynika, że (wykorzystam też wzór na sumę sinusów):
\(\displaystyle{ \sin\alpha+\cos\alpha=\sin\alpha+\sin\left( \frac{\pi}{2}-\alpha\right)=2\cdot \sin\left( \frac{\alpha+\frac{\pi}{2}-\alpha}{2}\right)\cdot \cos\left( \frac{\alpha-\frac{\pi}{2}+\alpha}{2}\right)=2\cdot\sin\left( \frac{\pi}{4}\right)\cdot \cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}\cdot \cos(\alpha-\frac{\pi}{4})}\)
Najmniejsza wartość tego wyrażenia to \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\). Przyjmie ono ją dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\), dla którego \(\displaystyle{ \cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=-1}\). Zatem \(\displaystyle{ \alpha-\frac{\pi}{4}=\pi+2k\pi}\) \(\displaystyle{ (k\in\mathbb{Z})}\) (okresowość funkcji trygonometrycznych), czyli \(\displaystyle{ \alpha=\frac{5\pi}{4}+2k\pi}\) \(\displaystyle{ (k\in\mathbb{Z})}\). Jeśli chodziło Ci o \(\displaystyle{ \alpha\in\left\langle 0;2\pi\right\rangle}\), to \(\displaystyle{ \alpha=\frac{5\pi}{4}=225^{\circ}}\)
W każdym razie obie drogi prowadzą do tych samych wniosków.

[matematyk1995]

zapomniałem dodać,że potrzebuje rozwiązania w przedzialę \(\displaystyle{ \alpha \in \left(0 ^{0} ;\right 90 ^{0} )}\)

[KubabuK]

W takim razie nie ma jednoznacznej odpowiedzi. Dla każdego \(\displaystyle{ \alpha_{1}}\) mniejszego od \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\), a większego od \(\displaystyle{ 0^{\circ}}\) istnieje inne \(\displaystyle{ \alpha_{2}}\) z tego samego przedziału, dla którego wartość tego wyrażenia jest mniejsza. Np. dla \(\displaystyle{ \alpha_{1}=89,9999999999999998^{\circ}}\), możesz wziąć \(\displaystyle{ \alpha_{2}=89,99999999999999987^{\circ}}\), później \(\displaystyle{ \alpha_{3}=89,9999999999999999999999123^{\circ}}\) i tak dalej (analogicznie w drugą stronę przy \(\displaystyle{ \alpha}\) zmierzającym do \(\displaystyle{ 0^{\circ}}\)). Rzecz w tym, że przedział, który podałeś jest przedziałem otwartym (czyli inaczej jednowymiarową kulą bez brzegu). Gdyby jednak chodziło o przedział \(\displaystyle{ \left\langle 0^{\circ};90^{\circ}\right\rangle}\) (można to też zapisać \(\displaystyle{ \left[ 0^{\circ};90^{\circ}\right]}\)), to najmniejszą wartość przyjęłoby to wyrażenie dla \(\displaystyle{ \alpha=90^{\circ}}\) oraz dla \(\displaystyle{ \alpha=0^{\circ}}\). Wartość ta wynosiłaby \(\displaystyle{ \sqrt{2}\cdot \cos(45^{\circ})=\sqrt{2}\cdot \cos(-45^{\circ})=1}\). Żeby to sobie lepiej uzmysłowić przyjrzyj się wykresowi funkcji cosinus.

[matematyk1995]

dziękuje bardzo za pomoc