Nierówność trygonometryczna

[Taex]

Mam taką nierówność:

\(\displaystyle{ (2sinx-1)(2cos2x- \sqrt{3} ) \le 0}\)
\(\displaystyle{ x \in <0;2 \pi >}\)

Rozpisałem to w taki oto sposób:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2sinx-1 \le 0 \\ 2cos2x- \sqrt{3} \ge 0\end{cases}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} 2sinx-1 \ge 0 \\ 2cos2x- \sqrt{3} \le 0\end{cases}}\)

I teraz liczę pierwsze

\(\displaystyle{ 2sinx-1 \le 0}\)
\(\displaystyle{ 2sinx \le \frac{1}{2}}\)

Z rysunku wychodzi, że x należy \(\displaystyle{ < \frac{5}{6} \pi;2 \pi>}\)

Problem mam przy drugim
\(\displaystyle{ 2cos2x - \sqrt{3} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 2cos2x \ge \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ cos2x \ge \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
I teraz nie wiem jak z rysunku to odczytać od którego do którego miejsca to należy (tzn. wiem wizualnie ale liczbowo nie wiem jak to podać).

[mativ73]

\(\displaystyle{ 2x<2k \pi - \frac{ \pi }{6} ; 2k \pi + \frac{ \pi }{6}>}\)
czyli
\(\displaystyle{ x<k \pi - \frac{ \pi }{12} ; k \pi + \frac{ \pi }{12}>}\)
Rozważ to tylko w przedziale od 0 do 2 Pi.

[HaveYouMetTed]

Wydaje mi się że szybciej byłoby:
\(\displaystyle{ (2 \sin x -1)(2 \cos 2x - \sqrt{3} ) \leq 0 \\
(2 \sin x -1 )(2 \cos ^{2} x -2 \sin ^{2} x - \sqrt{3} ) \leq 0 \\
(2 \sin x -1 ) (2-2 \sin ^{2} x - 2 \sin ^{2} x - \sqrt{3} ) \leq 0 \\
(2 \sin x -1 )(2-4 \sin ^{2} x - \sqrt{3} ) \leq 0 \\}\)

i podstawić zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t= \sin x}\) . Po wymnożeniu będzie jakiś tam wielomian i jazda. Za chwilę ciąg dalszy.-- 24 sty 2012, o 16:43 --to jednak jest zły pomysł:P

[Taex]

Chyba nie bardzo wiem jak to zrobić.
Zrobiłem do tego taki obrazek:
Czarna to zwykły cosinus. Czerwona to cos2x. Pozioma czarna linia to \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}}\). No a interesuje mnie ten fragment zaznaczony na niebiesko tak?

Czyli powinno być

\(\displaystyle{ \pi + \frac{ \pi }{12}= \frac{13 \pi }{12}}\)
\(\displaystyle{ \pi - \frac{ \pi }{12}= \frac{11 \pi }{12}}\)

?

[kropka+]

Rozumowanie jest takie:

Pierwszy czynnik się zeruje gdy

\(\displaystyle{ \sin x= \frac{1}{2} \Leftrightarrow x= \frac{ \pi }{6}+2k \pi \vee x= \pi - \frac{ \pi }{6}+2k \pi = \frac{5}{6} \pi +2k \pi}\)

Drugi czynnik się zeruje gdy

\(\displaystyle{ \cos 2x= \frac{ \sqrt{3} }{2} \Leftrightarrow 2x= \frac{ \pi }{6}+2k \pi \vee 2x= - \frac{ \pi }{6}+2k \pi \Leftrightarrow x= \frac{ \pi }{12}+k \pi \vee x=- \frac{ \pi }{12}+k \pi}\)

Teraz rysujesz oś OX i zaznaczasz punkty z przedziału \(\displaystyle{ [0,2 \pi ]}\): \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{12}, \frac{ \pi }{6}, \frac{11}{12} \pi , \frac{13}{12} \pi , \frac{23}{12} \pi}\)

Rysujesz dwa wężyki (dla dwóch czynników) i szukasz przedziałów, w których jeden wężyk jest nad osią a drugi pod osią.

Mnie wyszło, że \(\displaystyle{ x \in [- \frac{ \pi }{12}+ \pi , \frac{ \pi }{12}+ \pi ] \vee x \in [ \frac{ \pi }{6}+2k \pi , \frac{5}{6} \pi +2k \pi ]}\)

Twój rysunek jest dobry. Przed \(\displaystyle{ 2 \pi}\) znów zaczyna się niebieski przedział. Teraz dołóż do rysunku wężyk dla pierwszego czynnika.