Suma cosinusów

[acmilan]

Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma \le \frac{3}{2}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=180^{o}}\), \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma<180^{o}}\) (to znaczy są kątami w trójkącie)

[TPB]

Na starcie przerzuć wszystko na jedną stronę.
Przedstaw jeden kąt jako: \(\displaystyle{ \pi-\alpha-\beta}\). Potem skorzystaj ze wzorów reukcyjnych dla cosinusa. Ważne jest też takie coś:
\(\displaystyle{ cos(\alpha+\beta)=cos(2* \frac{\alpha+\beta}{2})=cos^{2}(\frac{\alpha+\beta}{2})-sin^{2}(\frac{\alpha+\beta}{2})}\). Potem będzie już łatwiej.

[acmilan]

Ok. Co dalej?

[bosa_Nike]

Popatrz, czy coś się da zwinąć w kwadrat.

[acmilan]

\(\displaystyle{ \cos\alpha+\cos\beta-\cos^{2}(\frac{\alpha+\beta}{2})+\sin^{2}(\frac{\alpha+\beta}{2})-\frac{3}{2} \le 0}\)

No i....?

[bosa_Nike]

Warto by było dążyć do wyrażenia zawierającego jeden rodzaj funkcji trygonometrycznej, proponuję cosinusa. W tym celu powinieneś:
1. Skorzystać ze wzoru na sumę cosinusów (pierwsze dwa).
2. Skorzystać z jedynki trygonometrycznej (do sinusa w kwadracie).

[acmilan]

\(\displaystyle{ 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-2\cos^{2}\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{1}{2} \le 0}\)

[bosa_Nike]

Super. Teraz zauważ, że \(\displaystyle{ 0<\cos\frac{\alpha +\beta}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos\frac{\alpha -\beta}{2}\le 1}\).

Wykorzystaj te fakty, a następnie wyciągnij przed nawias \(\displaystyle{ -2}\).

[czekoladowy]

Ta nierówność idzie z iloczynu skalarnego.

[acmilan]

\(\displaystyle{ 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-2\cos^{2}\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{1}{2} \le 0}\)

\(\displaystyle{ \cos^{2}\frac{\alpha+\beta}{2}-\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{1}{4} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \cos^{2}\frac{\alpha+\beta}{2}-\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{1}{4} \ge \\

\ge \cos^{2}\frac{\alpha+\beta}{2}-\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{1}{4}\cos^{2}\frac{\alpha-\beta}{2}= \\

=(\cos\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{1}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2})^{2} \ge 0}\)

Czy tak?

[bosa_Nike]

Dobrze jest. Można było też zrobić podobny myk: \(\displaystyle{ 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\le 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}\)

[acmilan]

Dzięki!