Równanie trygonometryczne 2

[Kaef]

A coś takiego:


\(\displaystyle{ 4sin ^{2} (x + \frac{ \pi }{4}) = 2}\)


?


W odpowiedziach mam wynik \(\displaystyle{ x = \frac{k \pi }{2}}\), a wychodzi mi samo \(\displaystyle{ k \pi}\). O co chodzi?

[tatteredspire]

Pokaż obliczenia.

[Kaef]

\(\displaystyle{ sin ^{2} (x + \frac{ \pi }{4}) = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ sin (x + \frac { \pi }{4}) = \frac { \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ x + \frac{ \pi }{4} = \frac{ \pi }{4} + k \pi}\)

\(\displaystyle{ x = k\pi}\)

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ |\sin (x + \frac { \pi }{4})| = \frac { \sqrt{2} }{2}}\) - tak powinno być, bo pierwiastek arytmetyczny jest liczbą nieujemną.

[Kaef]

No okej, ale to nie da wyniku \(\displaystyle{ x = \frac{k \pi }{2}}\)

[tatteredspire]

Masz na to kontrprzykład?

[Kaef]

Nie mam, więc proszę, żeby ktoś to rozwiązał i pokazał mi, jak to wyjdzie, bo sama tego zrobić być może nie umiem.

[tatteredspire]

To skąd wiesz, że to nie da tyle?

Rozwiąż takie coś: \(\displaystyle{ \sin (x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}} \vee \sin (x+\frac{\pi}{4})=\frac{-1}{\sqrt{2}}}\)

[Kaef]

Z pierwszego mi wychodzi \(\displaystyle{ x = k \pi}\), a z drugim nie wiem, co zrobić.

[tatteredspire]

No to źle masz, bo np. \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}}\) spełnia pierwsze równanie. Pierwsze równanie jest spełniony tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x=2k\pi \vee x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k \in \mathbb{Z}}\)

[Kaef]

Dobra, nie rozumiem Cię, bo udajesz geniusza, a okrążasz to wszystkimi sposobami byleby wprost tego nie wytłumaczyć. Nie ma sensu tego dalej ciągnąć, dzięki za fatygę.

[tatteredspire]

A co mam wytłumaczyć? Jak się rozwiązuje równania trygonometryczne? Naprowadzałem krok po kroku. Jak chcesz.

[Kaef]

Nie chcę, żebyś mi to tłumaczył, bo z resztą sobie radzę, tylko to mi się nie zgadza. Prosiłam, żeby ktoś to swoim sposobem zrobił i tyle.

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ 4sin ^{2} (x + \frac{ \pi }{4}) = 2 \Leftrightarrow \sin^{2}(x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin (x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}} \vee \sin (x+\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi \vee x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \vee -x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi \vee -x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi}\) - wylicz \(\displaystyle{ x}\) i zastanów się jak to można krócej zapisać.

[Kaef]

\(\displaystyle{ x = 2k \pi}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x = \frac{ \pi}{2} + 2k \pi}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x = - \frac{ \pi }{2} - 2k \pi}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x = - \pi - 2k \pi}\)


Co dalej, nie mam pojęcia.
Jeszcze pytanie, czy jak mam cosinus, sinus, tangens, czy cotangens do kwadratu to zmienia się jakoś okres funkcji?