Wykaż że równość jest tożsamością

[denatlu]

Wykaż, że dla kąta ostrego alfa tożsamość jest równością:

1. \(\displaystyle{ \frac{sin\alpha ctg\alpha}{cos ^{2} \alpha} -tg\alpha sin\alpha=cos\alpha}\)

2. \(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha (1+ \frac{ctg\alpha}{tg\alpha})=1}\)

3. \(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha tg ^{2} \alpha+1-cos ^{2} \alpha =tg ^{2} \alpha}\)

[Mortify]

Hint do 2:

\(\displaystyle{ \frac{\ctg{x}}{\tg{x}} = \frac{ \frac{\cos{x}}{\sin{x}} }{ \frac{\sin{x}}{\cos{x}} }= ...}\)

Reszta podobnie.

[denatlu]

z 3 mam problem, może mi go ktoś rozpisać?

[Mortify]

\(\displaystyle{ \sin^2{x} \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}+\sin^2{x}= \frac{\sin^4{x}+\sin^2{x}\cos^2{x}}{\cos^2{x}}= \frac{\sin^2{x}(\sin^2{x}+\cos^2{x})}{\cos^2{x}}= \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}=\tg^2{x}}\)

[denatlu]

Dzięki, a jak zrobić to:

Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{cos ^{4}x }{sin ^{2}x }}\) dla \(\displaystyle{ ctg ^{2} x=5}\) .

Nie wiem jak to zacząć.

[Mortify]

\(\displaystyle{ \frac{\cos^{4}{x} }{\sin^2{x} }=\ctg^2{x}\cos^2{x}}\)

Wiemy, że: \(\displaystyle{ \sin^2{x}=1-\cos^2{x}}\)
oraz z założenia, że \(\displaystyle{ \frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}}=5 \Leftrightarrow \cos^2{x}=5\sin^2{x}}\)

Zatem: \(\displaystyle{ \cos^2{x}=5(1-cos^2{x}) \Leftrightarrow \cos^2{x}= \frac{5}{6}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\cos^{4}{x} }{\sin^2{x} }=\ctg^2{x}\cos^2{x}=5\cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{6}}\)

[denatlu]

nie rozumiem tylko skad \(\displaystyle{ cos ^{2} x= \frac{5}{6}}\) ? Dlaczego to tak jest?

[Mortify]

\(\displaystyle{ t=5(1-t)}\)

Wyznacz \(\displaystyle{ t}\).