Wykaż że równość jest tożsamością
- denatlu
- Użytkownik
- Posty: 524
- Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 14 razy
Wykaż że równość jest tożsamością
Wykaż, że dla kąta ostrego alfa tożsamość jest równością:
1. \(\displaystyle{ \frac{sin\alpha ctg\alpha}{cos ^{2} \alpha} -tg\alpha sin\alpha=cos\alpha}\)
2. \(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha (1+ \frac{ctg\alpha}{tg\alpha})=1}\)
3. \(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha tg ^{2} \alpha+1-cos ^{2} \alpha =tg ^{2} \alpha}\)
1. \(\displaystyle{ \frac{sin\alpha ctg\alpha}{cos ^{2} \alpha} -tg\alpha sin\alpha=cos\alpha}\)
2. \(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha (1+ \frac{ctg\alpha}{tg\alpha})=1}\)
3. \(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha tg ^{2} \alpha+1-cos ^{2} \alpha =tg ^{2} \alpha}\)
- Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Wykaż że równość jest tożsamością
Hint do 2:
\(\displaystyle{ \frac{\ctg{x}}{\tg{x}} = \frac{ \frac{\cos{x}}{\sin{x}} }{ \frac{\sin{x}}{\cos{x}} }= ...}\)
Reszta podobnie.
\(\displaystyle{ \frac{\ctg{x}}{\tg{x}} = \frac{ \frac{\cos{x}}{\sin{x}} }{ \frac{\sin{x}}{\cos{x}} }= ...}\)
Reszta podobnie.
- Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Wykaż że równość jest tożsamością
\(\displaystyle{ \sin^2{x} \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}+\sin^2{x}= \frac{\sin^4{x}+\sin^2{x}\cos^2{x}}{\cos^2{x}}= \frac{\sin^2{x}(\sin^2{x}+\cos^2{x})}{\cos^2{x}}= \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}=\tg^2{x}}\)
- denatlu
- Użytkownik
- Posty: 524
- Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 14 razy
Wykaż że równość jest tożsamością
Dzięki, a jak zrobić to:
Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{cos ^{4}x }{sin ^{2}x }}\) dla \(\displaystyle{ ctg ^{2} x=5}\) .
Nie wiem jak to zacząć.
Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{cos ^{4}x }{sin ^{2}x }}\) dla \(\displaystyle{ ctg ^{2} x=5}\) .
Nie wiem jak to zacząć.
- Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Wykaż że równość jest tożsamością
\(\displaystyle{ \frac{\cos^{4}{x} }{\sin^2{x} }=\ctg^2{x}\cos^2{x}}\)
Wiemy, że: \(\displaystyle{ \sin^2{x}=1-\cos^2{x}}\)
oraz z założenia, że \(\displaystyle{ \frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}}=5 \Leftrightarrow \cos^2{x}=5\sin^2{x}}\)
Zatem: \(\displaystyle{ \cos^2{x}=5(1-cos^2{x}) \Leftrightarrow \cos^2{x}= \frac{5}{6}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\cos^{4}{x} }{\sin^2{x} }=\ctg^2{x}\cos^2{x}=5\cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{6}}\)
Wiemy, że: \(\displaystyle{ \sin^2{x}=1-\cos^2{x}}\)
oraz z założenia, że \(\displaystyle{ \frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}}=5 \Leftrightarrow \cos^2{x}=5\sin^2{x}}\)
Zatem: \(\displaystyle{ \cos^2{x}=5(1-cos^2{x}) \Leftrightarrow \cos^2{x}= \frac{5}{6}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\cos^{4}{x} }{\sin^2{x} }=\ctg^2{x}\cos^2{x}=5\cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{6}}\)