zadania maturalne

[zenek781]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu następujących zadań:

1. Jedna przyprostokątna trójkąta prostokątnego jest 5 razy dłuższa od drugiej. Oblicz sinus mniejszego kąta ostrego.

2. Wykaż, że nie istnieje kąt ostry \(\displaystyle{ \alpha}\) taki, że \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{3} \ i \ \tg \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\). <---w tym zadaniu proszę o podpowiedź jak wyznaczyc \(\displaystyle{ \cos}\)

3. Wiedząc, że liczba \(\displaystyle{ \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{ \sqrt{5} }{2}}\) oblicz liczbę \(\displaystyle{ b=(\sin\alpha - \cos\alpha )^{2} .}\)

4. Pole trójkąta jest równe 6. Długości dwóch boków tego trójkąta są równe 4 i 6. Wyznacz miarę kąta między tymi bokami.

5. Korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ \cos 2 \alpha = 2 \ \cos ^{2} \alpha - 1}\) oblicz \(\displaystyle{ \cos 15^\circ}\).
Z góry dzięki:)

[Mortify]

Zad 1.

\(\displaystyle{ x, 5x}\) - przyprostokątne. Więc z Pitagorasa długość przeciwprostokątnej wynosi:...
i mamy już stąd sinus.

Zad 2

\(\displaystyle{ \tg{x}= \frac{\cos{x}}{\sin{x}}}\)

\(\displaystyle{ (\sin{x})^2+(\cos{x})^2=1}\)
i rozwiązujemy.

Zad 3

Zauważ, że:
\(\displaystyle{ (\sin{x}+\cos{x})^2=1+2\sin{x}\cos{x}}\)

\(\displaystyle{ b=1-2\sin{x}\cos{x}}\)

Zad 4

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} ab\sin\alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt między \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)

Zad 5

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2} =cos(30)=cos(2\cdot 15) = ...}\)

[zenek781]

1. Jak liczę pitagorasa to wychodzi mi \(\displaystyle{ c^{2} \ = \ 26x^{2}}\) i niewiem co dalej.

3. \(\displaystyle{ (\sin{x}+\cos{x})^2=1+2\sin{x}\cos{x}}\) skąd się wziął ten wzór? Podejrzewam że to wzór skróconego mnożenia ale nie widzę tego .

[mario54]

Wzór na kwadrat sumy:
\(\displaystyle{ (\sin{x}+\cos{x})^2= sin ^{2}x+2sinxcosx+cos^{2}x}\)

\(\displaystyle{ sin ^{2}x+cos^{2}x = 1}\)

a co do zad 1
\(\displaystyle{ 26x^{2}=c^{2} ; x,c>0

c= \sqrt{26}x

sin \alpha = \frac{x}{ \sqrt{26} x} = \frac{\sqrt{26}}{26}}\)

[zenek781]

\(\displaystyle{ 26x^{2}=c^{2}}\) <-- jak się opuszcza kwadrat przy \(\displaystyle{ c}\) to można sobie przy \(\displaystyle{ x}\) opuścic i włączyc to pod pierwiastek?

[Mortify]

Pierwiastkujesz obustronnie, a że życie nie jest wcale takie brutalne, to masz założenia, że wszystko jest dodatnie.

Więc \(\displaystyle{ a^2=b^2 \Leftrightarrow a=b \ (a,b \ge )}\)

[zenek781]

Nowe zadania:
6. Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których istnieje kąt ostry \(\displaystyle{ x}\) taki, że \(\displaystyle{ sin x = 9 - m^{2}}\).

7. Dlaczego \(\displaystyle{ 2 - \frac{3sin67^{\circ}}{2cos23^{\circ}}}\) równa się \(\displaystyle{ 2 - \frac{3sin67^{\circ}}{2sin67^{\circ}} \ \ \ ?}\)

8. W kwadracie \(\displaystyle{ ABCD}\) obrano na boku \(\displaystyle{ BC}\) taki punkt \(\displaystyle{ E}\), że \(\displaystyle{ \frac{|EB|}{|EC|} = \frac{2}{3}.}\) Kąt \(\displaystyle{ AEB}\) ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Wyznacz \(\displaystyle{ sin \alpha \ , cos \alpha \ , tg \alpha}\). <---- w jaki sposób w tym zadaniu obliczyc uzależnienie długości odcinka \(\displaystyle{ |BE|}\) i \(\displaystyle{ |AE|}\) od boku \(\displaystyle{ a}\). Powinno wyjśc \(\displaystyle{ |BE| = \frac{2}{5}a \ ; |AE| = \frac{ \sqrt{29} }{5}a}\) ale nie wiem jak do tego dojśc

[Mortify]

zad 6

\(\displaystyle{ x \in (0,90) \Rightarrow \sin{x} \in (0,1)}\) czyli \(\displaystyle{ 0 < 9-m^2<1}\)

Zad 7

wzory redukcyjne

Zad 8

\(\displaystyle{ AB=a}\)

\(\displaystyle{ a=BC=BE+EC}\)

Ale \(\displaystyle{ \frac{BE}{EC}= \frac{2}{3} \Rightarrow EC= \frac{3}{2} BE}\)

\(\displaystyle{ a=BC=BE+EC= \frac{3}{2}BE + BE = \frac{5}{2}BE \Leftrightarrow BE= \frac{2}{5}a}\)

\(\displaystyle{ AE}\) obliczysz z Pitagorasa i już masz wszystko.

[zenek781]

\(\displaystyle{ \sin{x} \in (0,1)}\)czyli \(\displaystyle{ 0 < 9-m^2<1}\)
. Nie rozumiem tego. dlaczego sinus x należy tylko do (0,1)?

[Mortify]

Masz wcześniej napisane, \(\displaystyle{ x\in (0^{\circ}, 90^{\circ})}\), (bo ma być OSTRY), a dla kątów ostrych\(\displaystyle{ \sin{x}\in (0,1)}\)

[zenek781]

9. Jak rozwiązac równanie: \(\displaystyle{ \frac{a}{ \sqrt{2a^2 + 8a +16} }=\frac{2}{3}}\)?

10.Dana jest funkcja f określona wzorem \(\displaystyle{ f(x) = x^2 + 3x + 3 \sin \alpha ,}\)gdzie\(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym. Wyznacz przybliżoną miarę kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) tak, aby ta funkcja miało tylko jedno miejsce zerowe.

[Mortify]

Zad 9

Dziedzina, a potem wymnażamy stronami przez mianowniki.

Zad 10

Kiedy równanie kwadratowe ma JEDNO rozwiązanie?

[zenek781]

9. Właśnie mam problem z wymnażaniem jak jest ten długi pierwiastek.

10. Kiedy delta = 0 . czyli \(\displaystyle{ 9 - 12 sin \alpha =0}\), a jak wyznaczyc sin?

[Mortify]

Jaki masz problem? Mnożysz przez ten pierwiastek pamiętając o dziedzinie.