wartość wyrażenia, najmniejsza i największa wartość funkcji

[croire]

(a) Obliczyć \(\displaystyle{ \frac{\sin870 ^{o} +\cos(-1050 ^{o} )+\tg(-405 ^{o}) }{ \sqrt{12}-2 }}\) .

(b) Obliczyć \(\displaystyle{ \sin ^{3} \alpha +\cos ^{3} \alpha}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alpha = \frac{1}{3}}\)

(c) Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ y= \sqrt{3} \cos3x-\sin3x}\)

[Kartezjusz]

1. Wzory redukcyjne pozwolą sprowadzić do bardziej litościej postaci...,a następnie uniewymiernij mianownik.
2.jeśli \(\displaystyle{ \sin \alpha=a \wedge \cos \alpha=b}\) to
\(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)}\)
Dane jest
\(\displaystyle{ a+b= \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=1}\) z jedynki trygonometrycznej
Ze wzorów skróconego mnożenia mamy
\(\displaystyle{ -ab=-(a+b)^{2}+a^{2}+b^{2}}\)
3.Zauważmy,że największa wartość \(\displaystyle{ f(x)=\cos x -\sin x}\)jest w punkcie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)
Istotnie
\(\displaystyle{ f^{2}(x)=1-\sin 2x}\)(pomyśl czemu:-))A tę funkcję już umiesz zmierzyć
Zauważ też,że z parzystości cosinusa i nieparzystości sinusa
\(\displaystyle{ \sin x + \cos x=f(-x)}\)
i zauważasz ,że \(\displaystyle{ f(x)+f(-x)=2 \cos x}\) i \(\displaystyle{ f(-x)-f(x)=2 \sin x}\)...
W ten sposób możesz też policzyć jak masz dane współczynniki przed sinusem i cosinusem.

[Pancernik]

a)
\(\displaystyle{ \frac{\sin870^\circ+\cos\left(-1050^\circ\right)+\tg\left(-405^\circ\right)}{\sqrt{12}-2}=
\frac{\sin150^\circ+\cos30^\circ+\tg\left(-45^\circ\right)}{\sqrt{12}-2}=
\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-1}{\sqrt{12}-2}=
\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}{\sqrt{12}-2}=
\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\right)\left(\sqrt{12}+2\right)}{12-4}=
\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{12}+\sqrt{3}-\frac{\sqrt{12}}{2}-1}{8}=
\frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}}\)