cosinus dodatni czy ujemny?

[izaizaiza]

Skąd mam wiedzieć, czy cosinus leży w I czy w III ćwiartce układu współrzędnych w zadaniu:

Oblicz \(\displaystyle{ cos4x}\), jeśli \(\displaystyle{ sinx - cosx = \frac{1}{3}}\)

korzystając z jedynki trygonometrycznej i sinusa podwojonego kąta doszłam do:

\(\displaystyle{ (cos4x) ^{2} = \frac{2209}{81 ^{2} }}\)

czyli \(\displaystyle{ cos4x = \frac{-47}{81} \cup cos4x= \frac{47}{81}}\)

I w odp. jest, że poprawne jest tylko ujemne rozwiązanie, a ja nie wiem dlaczego. Wiem tylko, że sinus i cosinus muszą być tego samego znaku.

[Sherlock]

korzystając z jedynki trygonometrycznej i sinusa podwojonego kąta doszłam do:

\(\displaystyle{ (cos4x) ^{2} = \frac{2209}{81 ^{2} }}\)

możesz rozpisać swoje obliczenia, myślę, że gdzieś tam tkwi przyczyna rozbieżności

Z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy dwa komplety:
\(\displaystyle{ sinx= \frac{1+ \sqrt{17} }{6} \\ cosx= \frac{-1+ \sqrt{17} }{6}}\)
Po podstawieniu:
\(\displaystyle{ cos4x=cos^22x-sin^22x=1-2sin^22x=1-2(2sinx cosx)^2=1-8sin^2xcos^2x}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ cos4x=- \frac{47}{81}}\)
Podobnie wychodzi dla pary
\(\displaystyle{ sinx= \frac{1- \sqrt{17} }{6} \\ cosx= \frac{-1- \sqrt{17} }{6}}\)

[izaizaiza]

\(\displaystyle{ sin(x) - cos(x) = \frac{1}{3} \Rightarrow 2 \cdot sin(x) \cdot cos(x) = \frac{8}{9}}\)


\(\displaystyle{ cos ^{2} 4x + sin ^{2} 4x =1}\)


\(\displaystyle{ cos ^{2} 4x = 1 - sin ^{2} 4x = 1 - (2sin(2x) \cdot cos(2x)) ^{2} = 1 - 4 (2sin(x) \cdot cos(x) \cdot cos(2x)) ^{2}= 1 - 4 \cdot \frac{64}{81} \cdot cos ^{2}(2x)}\)

\(\displaystyle{ cos ^{2}(2x) + sin ^{2}(2x) = 1

cos ^{2}(2x)= \frac{17}{81}}\)

\(\displaystyle{ cos ^{2}(4x) = 1 - 4 \cdot \frac{64}{81} \cdot cos ^{2}(2x) = \frac{2209}{81 ^{2} }}\)

[Sherlock]

\(\displaystyle{ sin(x) - cos(x) = \frac{1}{3} \Rightarrow 2 \cdot sin(x) \cdot cos(x) = \frac{8}{9}}\)

Dzięki temu rozwiązanie może być jeszcze prostsze

\(\displaystyle{ cos4x=cos^22x-sin^22x=1-2sin^22x=1-2(2sinx cosx)^2=}\)

\(\displaystyle{ =1-2 \cdot (\frac{8}{9})^2=- \frac{47}{81}}\)

Rozbieżność w Twoich obliczeniach bierze się stąd, jak mniemam, że używasz w zadaniu kwadratu cosinusa 4x. Gdy próbujesz na końcu pierwiastkować pojawiają się dwa rozwiązania. To tak jakbyś w jakimś zadaniu miała dane x=10, w obliczeniach podnosisz x do kwadratu i operujesz 100, ale pierwiastek ze 100 to już 10 lub -10...

[izaizaiza]

Czyli ten sposób doprowadzi mnie do 2 wyników, ale na jego podstawie nie mogę stwierdzić, który jest poprawny, czy tak? Pomijając oczywiście, że Twój sposób jest o wiele krótszy = lepszy.

[Sherlock]

Trza by zrobić sprawdzenie. Zauważ, że wiemy:
\(\displaystyle{ sin2\alpha= \frac{8}{9}}\)
Z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy:
\(\displaystyle{ cos2\alpha= \frac{ \sqrt{17} }{9}}\) lub \(\displaystyle{ cos2\alpha= \frac{ -\sqrt{17} }{9}}\)
Jak wiesz, żeby policzyć cosinus podwojonego kąta (tutaj podwajamy już podwojony kąt) podnosimy do kwadratu cosinus i sinus zatem obie wartości będą ostatecznie dodatnie. Wynik będzie jeden.

[izaizaiza]

A no tak. Dzięki wielkie za pomoc