Tożsamości

grzegorz87 · Post autor: **grzegorz87** » 5 lut 2007, o 18:42

Udowodnij tożsamość :
\(\displaystyle{ \frac{2cos^{2}(x-\frac{\pi}{4})-1}{1-2sin^{2}(x-\frac{\pi}{4})}=1}\)
\(\displaystyle{ sin2x=\frac{1}{ctgx-ctg2x}}\)
Udowodnij równość:
\(\displaystyle{ sinx-cosx=\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4})}\)
Za pomoc z góry dziękuję !

baksio · Post autor: **baksio** » 5 lut 2007, o 18:54

1.
\(\displaystyle{ L= \frac{cos(x-\frac{\pi}{4})}{1-sin^2(x-\frac{\pi}{4}) - sin^2(x-\frac{\pi}{4})} = \frac{cos2(x-\frac{\pi}{4}}{cos^2(x-\frac{\pi}{4}) - sin^2(x-\frac{\pi}{4})} =}\)
\(\displaystyle{ =\frac{cos2(x-\frac{\pi}{4})}{cos2(x-\frac{\pi}{4})} = 1}\)

2.
\(\displaystyle{ \frac{1}{ctgx - ctg2x} = \frac{1}{\frac{cosx}{sinx} - \frac{cos2x}{sin2x}} = \frac{1}{\frac{sin2xcosx - cos2xsinx}{sinx*sin2x}} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{sinx*sin2x}{2sinxcos^2x - cos2x*sinx} = \frac{sinx*sin2x}{sinx(2cos^2x -cos2x)} = \frac{sin2x}{2cos^2x - cos^2x+sin^2x} = sin2x}\)

Piotrek89 · Post autor: **Piotrek89** » 5 lut 2007, o 18:55

\(\displaystyle{ \sqrt {2}sin(x-\frac {\pi}{4})=\sqrt {2} (sinx*cos45^{o}-cosx*sin45^{o})=sinx-cosx}\)

grzegorz87 · Post autor: **grzegorz87** » 5 lut 2007, o 19:15

Baksio Nie rozumiem co się dzieje w liczniku u ciebie, skąd się potem bierze to \(\displaystyle{ cos^{2}2(x-\frac{\pi}{4})}\), i czy cos nie powinien być bez kwadratu ??

baksio · Post autor: **baksio** » 5 lut 2007, o 19:17

grzegorz87, :
\(\displaystyle{ cos2x= cos^2x - sin^2x = 2cos^2x - 1}\)
Tak powinno być bez kwadratu.

//Ale czy przypadkiem w drugiej tożsamości nie powinien być \(\displaystyle{ sin2x}\) ?

grzegorz87 · Post autor: **grzegorz87** » 5 lut 2007, o 20:01

powinien być