równanie trygonometryczne

Javier · Post autor: **Javier** » 5 lut 2007, o 18:16

\(\displaystyle{ 4sin^{3}x+4sin^{2}x-sinx-1=0\\
4sin^{3}x+4sin^{2}x-sinx=1\\
sinx(4sin^{2}x+4sinx-1)=1\\}\)

Każda części przyrównuje do 1 wiec mam tam równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ podstawiam:\\
t=sinx\\
4t^{2}+4t-1=1\\
4t^{2}+4t-2=0\\
\Delta=4\sqrt{3}\\

t=\frac {-1-\sqrt{3}}{2} \\

oraz\\

t=\frac {-1+\sqrt{3}}{2} \\}\)

Teraz to przyrownać do sinx i nie wiem ale gdzieś bład robie ?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 5 lut 2007, o 18:25

A po co sie tak męczyć?
\(\displaystyle{ 4\sin^3 x+4\sin^2 x-\sin x-1=0\\4\sin^2 x(\sin x +1)-(\sin x+1)=0\\(\sin x+1)(4\sin^2 x-1)=0\\(\sin x+1)(2\sin x+1)(2\sin x-1)=0}\)
itd.

ariadna · Post autor: **ariadna** » 5 lut 2007, o 18:26

Coś mi tu nie pasuje...:
\(\displaystyle{ 4sin^{3}x+4sin^{2}x-sinx-1=0}\)
\(\displaystyle{ 4sin^{2}x(sinx+1)-(sinx+1)=0}\)
\(\displaystyle{ (4sin^{2}x-1)(sinx+1)=0}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x=\frac{1}{4} sinx=-1}\)

jasny · Post autor: **jasny** » 5 lut 2007, o 18:27

Javier, niestety, \(\displaystyle{ ab=1\,\not\Rightarrow\,(a=1\,\wedge\,b=1)}\)...

setch · Post autor: **setch** » 5 lut 2007, o 22:10

\(\displaystyle{ t=sinx t\in \\
4t^3+4t^2-t-1=0\\
4t^2(t+1)-(t+1)=0\\
(4t^2-1)(t+1)=0\\
(2t-1)(2t+1)(t+1)=0\\
2t-1=0 2t+1=0 t+1=0\\
t=\frac{1}{2}\vee t=-\frac{1}{2}\vee t=-1}\)
wszystkie kwalifikuje sie do zalozenia, zatem
\(\displaystyle{ sinx=\frac{1}{2}\vee sinx=-\frac{1}{2}\vee sinx=-1}\)

Javier · Post autor: **Javier** » 5 lut 2007, o 23:12

Wielkie dzieki, kurde taki głupi bład ;/

A czy da sie takie coś rozwiązać:
\(\displaystyle{ sinx+\sqrt{3}cosx=0}\)

ariadna · Post autor: **ariadna** » 5 lut 2007, o 23:23

Podziel przez dwa i zastosuj wzór na sinus sumy, albo inny podobny. Ewentualnie poszukaj rozwiązania na forum.

Javier · Post autor: **Javier** » 6 lut 2007, o 18:21

Wielkie dzieki lecz mam następny problem nie wiem jak sie za to zabrać:
\(\displaystyle{ sin(x+\frac{\pi}{4})+sin(x-\frac{\pi}{2})=2}\)

jakies wzory ? z wzoru na sinus sumy ? Jakaś mała wskazówka

Lorek · Post autor: **Lorek** » 6 lut 2007, o 18:29

Javier pisze:z wzoru na sinus sumy

Już raczej ze wzoru na sume sinusów. Ja bym jednak zainteresował się możliwymi wartościami, jakie ta funkcja może przyjąć.

Javier · Post autor: **Javier** » 6 lut 2007, o 18:35

Adams pisze: Już raczej ze wzoru na sume sinusów. Ja bym jednak zainteresował się możliwymi wartościami, jakie ta funkcja może przyjąć.

No sinus przyjmuje wartości więc nie ma rozwiazania te równanie ?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 6 lut 2007, o 18:45

Nie do końca, ale jesteś blisko. Chodzi o to, że to równanie jest prawdziwe wtw gdy \(\displaystyle{ \sin(x+\frac{\pi}{4})=1\:\wedge\: \sin(x-\frac{\pi}{2})=1}\)
a ten układ nie ma rozwiązania.