Równanie z kosinusem i parametrem

xxmonikaxx · Post autor: **xxmonikaxx** » 10 sty 2012, o 17:45

Hey mam problem z tym zadaniem :
Dla jakich wartosci parametru \(\displaystyle{ k \in \mathbb{R}}\) równanie \(\displaystyle{ 3 \cos x + \cos 2x = k}\) ma rozwiązanie ?

Korzystając z róznych własności doszłam do takiego rownania :\(\displaystyle{ 2 \cos^{2}x +3 \cos x-1=k}\) i nie wiem co dalej ....

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 10 sty 2012, o 17:55

\(\displaystyle{ k}\) na drugą stronę, podstawienie \(\displaystyle{ t = \cos x}\) z odpowiednim założeniem.

xxmonikaxx · Post autor: **xxmonikaxx** » 11 sty 2012, o 10:18

tak zrobiłam i t należy od -1 do 1 ale mi tam delta mi wyszła 17 i dalej policzyłam miejsca zerowe i tu już nie wiem co mam zrobić ...

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 11 sty 2012, o 13:22

Niemożliwe żeby Ci wyszła taka delta - wszak mamy jeszcze parametr \(\displaystyle{ k}\).

xxmonikaxx · Post autor: **xxmonikaxx** » 11 sty 2012, o 14:10

aha bo ja usunęłam w ogóle to k to jak podstawie to t tak pod cosx to będę miała dwie niewiadome t i k ... i co z nimi zrobić tego nie wiem ...

próbowałam wsiąść wszystko na jedną str. to mi delta wyszła 17 +8k .....

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 11 sty 2012, o 15:10

\(\displaystyle{ k}\) jest parametrem. Przyjmujemy, że jest dane. Masz wyznaczyć dla jakich wartości tego parametru powyższe równanie ma rozwiązanie.
Delta wyszła Ci poprawna. Teraz napisz założenia i podstaw.

xxmonikaxx · Post autor: **xxmonikaxx** » 12 sty 2012, o 11:45

czyli aby to rownanie miało rozwiazanie do delta musi byc równa lub większa od zera tak ?
\(\displaystyle{ 17+8k \ge}\) wychodzi że \(\displaystyle{ k \ge \frac{17}{8}}\) tak ?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 12 sty 2012, o 12:08

Tak, ale pamiętaj też że pierwiastki tego równania muszą zawierać się w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle -1,\right1\rangle}\)

xxmonikaxx · Post autor: **xxmonikaxx** » 12 sty 2012, o 12:27

czyli odp. to \(\displaystyle{ k \ge \frac{17}{8}}\) i (\(\displaystyle{ t_{1} \wedge t_{2} ) \vee t_{0} \in <-1,1>}\) tak ?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 12 sty 2012, o 13:24

No tak ale trzeba teraz obliczyć, dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) rozwiązanie mieści się w takim przedziale.