Tożsamość trygonometryczna

[mike093]

Dziękuje za odwiedzenie tego tematu
Otóż mam taki problem z zadaniem z wykazem
Treść: Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\) prawdziwa jest równość
\(\displaystyle{ \left( \tg \alpha + \frac1{\tg \alpha} \right) ^{2} = \frac1{\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha}}\)

Wychodzę od lewej strony i mam \(\displaystyle{ \tg ^{2} \alpha + 2 +\left( \frac1{\tg \alpha} \right) ^{2}}\)
Dalej nie mam bladego pojęcia co robić.. jutro mam z tego sprawdzian, a kombinuje jak to rozwiązać ponad 1h.

[Jan Kraszewski]

Najpierw skorzystaj z definicji tangensa, a dopiero potem ze wzoru skróconego mnożenia.

JK

[mike093]

Dziękuje za odpowiedź, mam coś takiego. Czy podążam w dobrym kierunku?
\(\displaystyle{ \frac{\sin ^{2} \alpha }{\cos ^{2} \alpha } + 2\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \cdot \frac{1}{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}+\left( \frac{1}{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right) ^{2}}\)

Edit.

\(\displaystyle{ \frac{\sin ^{2} \alpha }{\cos ^{2} \alpha } + 2 + \left( \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\right) ^{2}}\)

[Jan Kraszewski]

Czy aby na pewno kwadraty w pierwszym ułamku mają być właśnie tam?

JK

[mike093]

nie wiem za bardzo jak to zrobiłem, ale mam teraz coś takiego
\(\displaystyle{ \left( \frac{\sin ^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }\right) ^{2} + 2}\)
w odpowiedziach jest to samo tylko bez \(\displaystyle{ + 2}\)

[Jan Kraszewski]

No to masz źle, błędnie wykonałeś ostatnie przekształcenie. Co więcej, wszystko co robisz nie ma większego sensu.

Najpierw skorzystaj z definicji tangensa, potem sprowadź do wspólnego mianownika, zauważ coś i dopiero na końcu skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia.

JK

[menzyl]

To będzie tak:
1.Lewa strona Zamieniasz \(\displaystyle{ \tg}\) na \(\displaystyle{ \frac{sin}{cos}}\)
2.Potem muszisz dodać ze sobą dwie liczby więc sprowadzasz do wspólnego mianownika
3.Następnie potęgujesz licznik i mianownik
4.Jak zauważasz to w liczniku jest 1 trygonometryczna>
5.Więc \(\displaystyle{ L=P}\)