Iloraz różnicowy

[marcin195]

Mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\)

a) Napisz iloraz różnicowy dla tej funkcji dla coraz mniejszych przyrostów.
b) Sporządź wykresy funkcji, które przyporządkowują argumentowi \(\displaystyle{ x}\) iloraz różnicowy.

[Inkwizytor]

to na początek udajmy się do źródeł, czyli definicja ilorazu różnicowego

[marcin195]

No tak, wzór znam. Ale nie wiem co z tym zrobić, "dla coraz mniejszych przyrostów."

[Inkwizytor]

Najpierw zapisz potem dołożymy tę "kłopotliwą kwestyję"

[marcin195]

\(\displaystyle{ \frac{f(x _{0}+h)-f(x _{0}) }{h}}\)

[Inkwizytor]

A teraz podłóż konkretną funkcję którą masz w zadaniu.

Gdy to zrobisz otrzymasz postać ilorazu różnicowego dla swej funkcji i dla dowolnego przyrostu argumentów.

Jeśli natomiast autorowi zadania zależy na coraz mniejszych przyrostach to co się dzieje z wartością \(\displaystyle{ h}\)?

[marcin195]

Czyli muszę sam wybrać punkt \(\displaystyle{ x _{0}}\)? Bo w zadaniu go nie mam podanego. No nie wiem....
\(\displaystyle{ \frac{lim}{h \rightarrow 0} \frac{sin(x+h)-sinx}{h}}\)
i z tego jakoś wyjdzie cosx i to jest ten wynik? A jak tak to wykresem z punktu b bedzie cosx?

[Inkwizytor]

To nawet nie chodzi o wybór \(\displaystyle{ x_0}\). Zapewne autorowi chodziło własnie o tę postać:

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin{x}}{h}}\) - oczywiście wiemy że rozwiązaniem tej granicy jest \(\displaystyle{ \cos{x}}\). Tylko ciężko stwierdzić po takim poleceniu czy chodziło o samo zapisanie postaci ilorazu różnicowego z granicą czy o wartość wyliczoną (czyli de facto wyliczoną I pochodną)

[marcin195]

W takim razie jaki wykres może być do tego zadania? \(\displaystyle{ f(x)= \cos x}\) ?
Mam jeszcze jeden punkt żeby właśnie porównać ten wykres z b) z \(\displaystyle{ f(h)= \cos x}\)..