Trudna funkcja cyklometryczna

[km1992]

Nie wiem jak to ugryźć:
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{1}{2}\arcsin \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \right)}\)

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ \frac{-2\sqrt{3}}{3}<-1}\) więc takie coś nie ma sensu wg definicji, którą znam.

[km1992]

Mała pomyłka ( już poprawiona). Zamiast \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) ma być \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

[aalmond]

\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{1}{2}\arcsin \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \right) = p \\
\arcsin \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = 2 \arcsin p = \arcsin \left ( 2p \sqrt{1 - p ^{2} } \right )}\)

[km1992]

ostatnia część równania... z jakiej własności (wzoru) tutaj skorzystałeś?

[aalmond]

Wzór na sumę arcusów. Można go wyprowadzić ze wzoru na sinus sumy kątów.

[Psiaczek]

Nie wiem jak to ugryźć:
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{1}{2}\arcsin \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \right)}\)

1)z nieparzystości sinusa oraz arkusa sinusa mamy

\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{1}{2}\arcsin \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \right)=-\sin \left( \frac{1}{2}\arcsin \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \right)}\)


2)jest taki wzór prawdziwy dla \(\displaystyle{ 0<x<1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\arcsin x=\arccos \frac{ \sqrt{1+x}+ \sqrt{1-x} }{2}}\)

podstawiając \(\displaystyle{ x= \frac{2 \sqrt{2} }{3}}\) otrzymujemy po przekształceniach

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\arcsin \frac{2 \sqrt{2} }{3} =\arccos \frac{ \sqrt{6} }{3}}\)



3)zatem \(\displaystyle{ \cos \left\left( \frac{1}{2}\arcsin \frac{2 \sqrt{2} }{3}\right) = \frac{ \sqrt{6} }{3}}\)

i sinusa z jedynki trygonometrycznej liczymy. Ostateczna odpowiedź do zadania:\(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)