sprawdzanie tożsamości (trygonometria)

[pamparampa]

Proszę o pomoc w zadaniu
Sprawdź, czy prawdziwe są następujące tożsamości, podaj konieczne założenia:
\(\displaystyle{ \frac{\tg \alpha }{\tg2 \alpha + \ctg \alpha }=\cos 2 \alpha}\)

Edit:
źle napisałem, miało być \(\displaystyle{ \frac{\tg \alpha }{\tg2 \alpha - \tg \alpha }=\cos 2 \alpha}\)

[Lbubsazob]

To chyba nie jest tożsamością.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{\sin x}{\cos x} }{ \frac{\sin 2x}{\cos 2x}+ \frac{\cos x}{\sin x} }= \frac{ \frac{\sin x}{\cos x} }{ \frac{\sin 2x\sin x+\cos2x\cos x}{\cos 2x\sin x} }= \frac{\frac{\sin x}{\cos x} }{ \frac{2\sin^2 x\cos x+\cos^3 x-\sin^2 x\cos x}{\cos^2x\sin x-\sin^3x} }= \frac{\cos^2x\sin^2x-\sin^4x}{\sin^2x\cos^2x+\cos^4x}= \frac{\sin^2x(1-\sin^2x)-\sin^4x}{\sin^2x(1-\sin^2x)+1-2\sin^2x+\sin^4x}= \frac{\sin^2x-\sin^4x-\sin^4x}{\sin^2x-\sin^4x+1-2\sin^2x+\sin^4x}= \frac{\sin^2x-2\sin^4x}{1-\sin^2x}= \frac{\sin^2x(1-2\sin^2x)}{\cos^2x}=\tg^2x\cos 2x}\)

Żadnego błędu u siebie nie widzę...

[pamparampa]

A przepraszam, miało być \(\displaystyle{ \frac{\tg \alpha }{\tg2 \alpha - \tg \alpha }=\cos 2 \alpha}\)

[Lbubsazob]

Teraz wyszło.

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{\sin x}{\cos x} }{ \frac{\sin 2x}{\cos 2x}- \frac{\sin x}{\cos x} }= \frac{ \frac{\sin x}{\cos x} }{ \frac{\sin 2x\cos x-\cos2x\sin x}{\cos 2x\cos x} }= \frac{\sin x\cos x\cos 2x}{\sin2x\cos^2x-\cos2x\sin x\cos x}= \frac{\sin x\cos x\cos 2x}{\sin x\cos x\left( 2\cos^2x-\cos 2x\right) }= \frac{\cos2x}{2\cos^2x-\cos 2x}= \frac{\cos2x}{2\cos^2x-2\cos^2x+1}= \frac{\cos 2x}{1}=\cos 2x}\)

[pamparampa]

Dzięki, ale nie da się tego zrobić jakimś prostszym sposobem? Bo w porównaniu do poprzedniego podpunktu, wydaje mi się to zbyt trudne jak na to zadanie

[Lbubsazob]

Prościej chyba się nie da. Wystarczy tutaj tylko zamienić \(\displaystyle{ \tg 2x}\) na \(\displaystyle{ \frac{\sin 2x}{\cos 2x}}\), a potem sprowadzić to wszystko do wspólnego mianownika.
Można to zrobić co najwyżej trudniej, stosując jakieś wzory na tangens podwojonego kąta i inne cuda na kiju, nawet nie wiem czy to by coś dało.

[pamparampa]

Żeby nie zakładać nowego tematu, podobne zadanie:
Wykaż, że:
\(\displaystyle{ (\cos \alpha - \cos \beta )^{2} + (\sin \alpha - \sin \beta )^{2}=4\sin^{2} \frac{ \alpha - \beta }{2}}\)

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ \cos^2\alpha-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta=\\=2-2\left( \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\right) =\\=2\left( 1-\cos\left( \alpha-\beta\right) \right)=\\=2\left( \cos 0 -\cos \left( \alpha-\beta\right) \right)= \\ = 2\left[ -2\sin \frac{0+\alpha-\beta}{2}\sin \frac{0-\alpha+\beta}{2} \right]= \\ =2\left[ -2\sin \left( - \frac{\alpha-\beta}{2} \right)\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \right]= \\ =2\left[ 2\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \right] =\\=4\sin^2 \frac{\alpha-\beta}{2}}\)