Różnica \(\displaystyle{ \sin(\cos x) - \cos(\sin x)}\) jest:
a) mniejsza od zera dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\)
b) mniejsza od 2 dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\)
c) większa od zera dla pewnego \(\displaystyle{ x \in R}\)
d) równa 2 dla pewnego \(\displaystyle{ x \in R}\) ?
Różnica wyrażenia
-
kamil13151
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
-
kamil13151
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
-
tatteredspire
- Użytkownik
- Posty: 716
- Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 74 razy
Różnica wyrażenia
Algebraicznie:
\(\displaystyle{ \sin(\cos x) - \cos(\sin x)<0 \Leftrightarrow \cos(\sin x)-\sin(\cos x)>0}\)
\(\displaystyle{ \cos(\sin x)-\sin(\cos x)=\sin(\frac{\pi}{2}-\sin x)-\sin(\cos x)= \\ 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\sin x +\cos x}{2}) \cdot \cos (\frac{\pi}{4}+\frac{\cos x - \sin x}{2})= \\ 2 \cdot \sin (\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})}{2}) \cdot \cos (\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2} \cdot \cos(x+\frac{\pi}{4})}{2})= \\ 2 \cdot \sin\frac{\pi-2\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})}{4} \cdot \cos \frac{\pi +2\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})}{4}}\)
Tak więc:
\(\displaystyle{ \cos(\sin x)-\sin(\cos x)>0 \Leftrightarrow \\ 2 \cdot \sin\frac{\pi-2\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})}{4} \cdot \cos \frac{\pi +2\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})}{4}>0}\)
Można szacować następująco:
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}>\frac{\pi+2\sqrt{2}}{4} \ge \frac{\pi -2\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})}{4} \ge \frac{\pi-2\sqrt{2}}{4}>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}>\frac{\pi+2\sqrt{2}}{4} \ge \frac{\pi +2\sqrt{2}\cos (x+\frac{\pi}{4})}{4} \ge \frac{\pi-2\sqrt{2}}{4}>0}\)
Ponieważ nierówność równoważna nierówności "wyjściowej" jest zawsze spełniona (w I ćwiartce sinus i cosinus są dodatnie) więc i nierówność "wyjściowa" jest zawsze spełniona, co kończy dowód.
\(\displaystyle{ \sin(\cos x) - \cos(\sin x)<0 \Leftrightarrow \cos(\sin x)-\sin(\cos x)>0}\)
\(\displaystyle{ \cos(\sin x)-\sin(\cos x)=\sin(\frac{\pi}{2}-\sin x)-\sin(\cos x)= \\ 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\sin x +\cos x}{2}) \cdot \cos (\frac{\pi}{4}+\frac{\cos x - \sin x}{2})= \\ 2 \cdot \sin (\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})}{2}) \cdot \cos (\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2} \cdot \cos(x+\frac{\pi}{4})}{2})= \\ 2 \cdot \sin\frac{\pi-2\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})}{4} \cdot \cos \frac{\pi +2\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})}{4}}\)
Tak więc:
\(\displaystyle{ \cos(\sin x)-\sin(\cos x)>0 \Leftrightarrow \\ 2 \cdot \sin\frac{\pi-2\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})}{4} \cdot \cos \frac{\pi +2\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})}{4}>0}\)
Można szacować następująco:
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}>\frac{\pi+2\sqrt{2}}{4} \ge \frac{\pi -2\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})}{4} \ge \frac{\pi-2\sqrt{2}}{4}>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}>\frac{\pi+2\sqrt{2}}{4} \ge \frac{\pi +2\sqrt{2}\cos (x+\frac{\pi}{4})}{4} \ge \frac{\pi-2\sqrt{2}}{4}>0}\)
Ponieważ nierówność równoważna nierówności "wyjściowej" jest zawsze spełniona (w I ćwiartce sinus i cosinus są dodatnie) więc i nierówność "wyjściowa" jest zawsze spełniona, co kończy dowód.