Jestem na etapie całek, funkcje cyklometryczne już przerobiłem ale nie znałem tego faktu że np : \(\displaystyle{ \cos\arcsin x= \sqrt{1-x^{2}}}\) aż do momentu kiedy natknąłem się pewną całkę gdzie własnie częścią rozwiązania jest \(\displaystyle{ \cos\arcsin x}\)
Mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego tak jest ?
Cosinus arkusa sinusa
-
DemoniX
- Użytkownik
- Posty: 197
- Rejestracja: 13 wrz 2008, o 12:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck
- Podziękował: 22 razy
Cosinus arkusa sinusa
Ostatnio zmieniony 30 gru 2011, o 01:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Funkcje elementarne zapisujemy tak: \cos, \arsin, itd. Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Powód: Poprawa wiadomości. Funkcje elementarne zapisujemy tak: \cos, \arsin, itd. Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
-
Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Cosinus arkusa sinusa
Niech \(\displaystyle{ x \in [-1,1]}\) Niech \(\displaystyle{ \arcsin x=y}\). Oznacza to z definicji arkusa sinusa ,że \(\displaystyle{ \sin y =x}\) oraz \(\displaystyle{ y \in \left[ - \frac{ \pi }{2} ,\frac{ \pi }{2}\right]}\)
mamy dalej \(\displaystyle{ \sin^2 y=x^2,1-\cos^2 y=x^2,\cos^2 y=1-x^2}\)
pierwiastkujemy obie strony, znak bierzemy plus bo kosinus nieujemny w \(\displaystyle{ \left[ - \frac{ \pi }{2} ,\frac{ \pi }{2}\right]}\)
mamy zatem \(\displaystyle{ \cos y= \sqrt{1-x^2},\cos (\arcsin x)= \sqrt{1-x^2}}\)
mamy dalej \(\displaystyle{ \sin^2 y=x^2,1-\cos^2 y=x^2,\cos^2 y=1-x^2}\)
pierwiastkujemy obie strony, znak bierzemy plus bo kosinus nieujemny w \(\displaystyle{ \left[ - \frac{ \pi }{2} ,\frac{ \pi }{2}\right]}\)
mamy zatem \(\displaystyle{ \cos y= \sqrt{1-x^2},\cos (\arcsin x)= \sqrt{1-x^2}}\)