Dziedzina funkcji z sinusem

[seba21007]

Oblicz dziedzinę funkcji
\(\displaystyle{ y= \frac{x}{x+ \sqrt{x ^{2}\sin ^{2}x } }}\)

próbuje to robić tak

\(\displaystyle{ x+|x\sin x| \neq 0}\)

\(\displaystyle{ x(1+|\sin x|) \neq 0}\)

\(\displaystyle{ x \neq 0 \vee 1+|\sin x| \neq 0}\)

\(\displaystyle{ |\sin x| \neq -1}\)

no i patrząc na wykres funkcji \(\displaystyle{ |\sin x|}\) zbiór wartości ma w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0;1 \right\rangle}\) tak więc zawsze nie jest równa \(\displaystyle{ -1}\) czyli \(\displaystyle{ x \in \mathbb R}\)

podsumowując \(\displaystyle{ Df \in \mathbb R \setminus \left\{ 0\right\}}\) no ale takiej odpowiedzi nie ma i nie wiem gdzie robię błąd.

[pyzol]

\(\displaystyle{ x+|x\sin x|=x+|x||\sin x|}\)
nie możesz wyciągnąć x przed nawias. Rozpatrz 2 możliwości:
\(\displaystyle{ 1. x \ge 0\\
2. x<0}\)

[seba21007]

jak to zrobić ?
zawsze przy takim rozpatrzeniu przy wartości bezwzględnej rysuje sobie taki rysunek pomocniczy zaznaczam miejsca zerowe i badam kiedy funkcja jest dodatnia a kiedy ujemna.
dla
1. \(\displaystyle{ x \ge 0}\) wartość \(\displaystyle{ |x|}\) jest dodatnia czyli jest to po prostu \(\displaystyle{ x}\)

dla
2. \(\displaystyle{ x < 0}\) wartość \(\displaystyle{ |x|}\) jest ujemna czyli jest to po prostu \(\displaystyle{ -x}\)

a jak zrobić z \(\displaystyle{ \sin x}\) ?

sinx dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) ma rozwiązanie \(\displaystyle{ \left\langle 0 + 2k \pi ; \pi + 2k \pi \right\rangle}\)
tak więc w ogóle nie wiem jak się do tego zabrać

rozpatrując \(\displaystyle{ x \ge 0,\ |\sin x|}\) jest i dodatnie i ujemne.

[pyzol]

sinusa na razie zostaw, pierwszy przypadek masz już rozwiązany, teraz drugi, dla x ujemnych.

[seba21007]

Teraz wszystko jasne. Dziękuje za pomoc.