Zadanka

[Ankaz]

1.Wyznacz największą i najmniejszą wartość wyrażenia 3 – 2 cosx
2. Oblicz:
a) \(\displaystyle{ sin^{4}x + cos^{4}x}\) gdy sinx * cosx=0,5
b) \(\displaystyle{ cos34^{o}}\) gdy \(\displaystyle{ sin11^{o}=a}\)
c) tgx gdy \(\displaystyle{ \frac{cosx}{3(1-sinx)}=1+sinx}\)

Z góry dziękuję za pomoc

[Tristan]

1. \(\displaystyle{ -1 \leq \cos x \leq 1}\), mnożymy przez (-1)
\(\displaystyle{ 1 \geq - \cos x \geq -1}\)
\(\displaystyle{ 2 \geq -2 \cos x \geq -2}\)
\(\displaystyle{ 5 \geq 3 - 2 \cos x \geq 1}\)

2.a) \(\displaystyle{ \sin^2 x+ \cos^2 x=1}\) - podnieśmy tę równość do kwadratu
\(\displaystyle{ \sin^4 x + 2 ( \sin x \cos x)^2 + \cos^4 =1 \\ \sin^4 x + \cos^4 x=1- 2 ( \frac{1}{2})^2=1-2 \frac{1}{4}=\frac{1}{2}}\)

c) \(\displaystyle{ \frac{ \cos x}{ 3 ( 1 - \sin x) } = 1 + \sin x}\)
\(\displaystyle{ \cos x=3 [ (1-\sin x)( 1+ \sin x)]=3 (1- \sin^2 x)=3 \cos^2 x}\)
\(\displaystyle{ \cos x=0 \lor 1=3 \cos x}\)
Pierwsze równanie zajść nie może, bo \(\displaystyle{ \tg x= \frac{ \sin x }{ \cos x}}\), więc tangens byłby nieokreślony. Z drugiego równania mamy, że \(\displaystyle{ \cos x=\frac{1}{3}}\). Korzystając z jedynki trygonometrycznej mamy:
\(\displaystyle{ \sin^2 x+ ( \frac{1}{3})^2=1 \\ sin^2 x= \frac{8}{9} \\ \sin x=- \frac{ 2 \sqrt{2}}{3} \lor \sin x= \frac{ 2\sqrt{2}}{3}}\)
Otrzymujemy z tego, że \(\displaystyle{ \tg x= -2 \sqrt{2} \lor \tg x=2 \sqrt{2}}\).

[soku11]

b)
\(\displaystyle{ cos34^{\circ}=cos(45^{\circ}-11^{\circ})=cos45^{\circ}cos11^{\circ}+sin45^{\circ}sin11^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}cos11^{\circ}+\frac{\sqrt{2}}{2}a}\)
\(\displaystyle{ cos11^{\circ}=\sqrt{1-a^{2}}}\)
czyli wyrazenie bedzie mialo wartosc:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1-a^{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2}a}\)

POZDRO