Wyznacz największą i najmniejszą wartość

[lusieq]

Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\cos ^{2} - \sin x}\)

Zrobiłam tak:
\(\displaystyle{ f(x)=- \sin ^ {2}- \sin x +1 \\
t= \sin x \\
f(x)=-t^{2}-t+1}\)

I teraz nie wiem co dalej. ;/-- 20 gru 2011, o 15:52 --trzeba obliczyc f(1) i f(-1) ??

[Lbubsazob]

Teraz już łatwo, bo masz funkcję kwadratową zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Albo liczysz pochodną, albo, jeśli nie miałaś pochodnych, szukasz współrzędnych wierzchołka paraboli i tam może być wartość największa/najmniejsza. Pamiętaj, że \(\displaystyle{ t\in \left\langle -1,1\right\rangle}\).

[lusieq]

Czyli trzeba obliczyc tzw p i q?

[Lbubsazob]

Tak, a jeśli wierzchołek nie należy do dziedziny funkcji, policz wartość funkcji na krańcach przedziału, tzn. w punkcie \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\).

[lusieq]

No wiec sprawdz czy dobrze myśle, ok?:))

\(\displaystyle{ \Delta= \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ p= -\frac{1}{2}}\)
max:\(\displaystyle{ f \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{3}{4}}\)

\(\displaystyle{ q= -\frac{ \sqrt{5} }{4}}\)
\(\displaystyle{ f(1)=-1}\)
\(\displaystyle{ f(-1)=-1}\)

hymm???

[Lbubsazob]

Przede wszystkim \(\displaystyle{ f(p)=q}\), więc współrzędna \(\displaystyle{ q}\) nie powinna wyjść Ci inna niż \(\displaystyle{ f(p)}\).

\(\displaystyle{ \Delta=5 \\
p= -\frac{1}{2} \\
q= \frac{5}{4} \\
f(-1)=1 \\
f(1)=-1}\)

Czyli funkcja \(\displaystyle{ f(t)=-t^2-t+1}\) osiąga największą wartość \(\displaystyle{ \frac{5}{4}}\).

[Disnejx86]

\(\displaystyle{ \Delta = 5}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{5}}\)