Trygonometria, nierówność.

[Tmkk]

Wyznacz wszystkie rzeczywiste rozwiazania nierówności należące do \(\displaystyle{ <0; 2 \pi >}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin x + 2\cos 2x + \cos x}{\cos 2x} \ge 2\\
\\\frac{\sin x + 2\cos 2x + \cos x}{\cos 2x} - \frac{2\cos 2x}{\cos 2x} \ge 0\\
\\\frac{\sin x + \cos x}{\cos 2x} \ge 0\\
\\\frac{\cos( \frac{ \pi }{2} - x) + \cos x}{\cos 2x} \ge 0\\
\\\frac{2\cos\frac{ \pi }{4}\cos ( \frac{ \pi }{4} - x)}{\cos 2x} \ge 0\\
\\\frac{ \sqrt{2} \cos ( \frac{ \pi }{4} - x)}{\cos 2x} \ge 0\\
\\(\sqrt{2} \cos ( \frac{ \pi }{4} - x}))\cos 2x \ge 0\\}\)

I teraz nie wiem co dalej zrobic, wiec przydałaby sie pomoc. Podobne zadanie mialem i wyszło mi \(\displaystyle{ 2\cos 3x\cos x \ge 0}\) i tez nie wiem, czy mam rozpisywac na cosinus potrojonego kąta, czy może można jakos inaczej. Dzieki.

[anna_]

Podpowiedź: kiedy \(\displaystyle{ ab \ge 0}\)?

[chris_f]

\(\displaystyle{ (\sqrt{2} \cos ( \frac{ \pi }{4} - x}))\cos 2x \ge 0}\)
Rozpisujesz to sobie na dwa przypadki
\(\displaystyle{ \cos ( \frac{ \pi }{4} - x})\ge0 \wedge \cos2x\ge0 \vee
\cos ( \frac{ \pi }{4} - x})<0 \wedge \cos2x<0}\)
a z tymi nierównościami powinieneś sobie poradzić.

[Tmkk]

A no w sumie racja. Tylko mam pytanie, dlaczego \(\displaystyle{ < 0}\) a nie \(\displaystyle{ \le 0}\)?

A ok, już wiem.

Btw. powinno byc \(\displaystyle{ \cos 2x >0}\) oraz \(\displaystyle{ \cos 2x < 0}\), bo te wyrazenie bylo wczesniej w mianowniku i zerem byc nie moze. No ale dokonczylem, dziekuje bardzo.

[anna_]

Powinno być \(\displaystyle{ \le}\).