Wartość najmniejsza i największa wyrażenia

Przybysz · Post autor: **Przybysz** » 18 gru 2011, o 13:34

Ustal jaką najwiekszą i jaką najmniejszą wartość może przyjąć wyrażenie:
\(\displaystyle{ 2sin ^{2} - cos ^{2} \\
5-3sin ^{2} - 2cos ^{2} \\
\frac{1}{2} cos ^{2} + 3sin ^{2}\\}\)

Uzasadnij tożsamość
\(\displaystyle{ \frac{2}{cos ^{2} } - (tg-ctg)^{2} = tg ^{2}+ctg ^{2} \\
1-2sin ^{2} \cdot cos ^{2} =sin ^{4} + cos ^{4}\\}\)

Pierwsze zadanie wgl mi nie wychodzi.
W uzasadnianiu tożsamości w tej pierwszej doprowadzilem do momentu \(\displaystyle{ \frac{2sin ^{2} -cos ^{2} }{cos ^{2}sin ^{2} }}\)

więc cos mam chyba nie tak
Prosze o pomoc/ nakierowanie

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 18 gru 2011, o 13:38

A x-sy były ?

Tmkk · Post autor: **Tmkk** » 18 gru 2011, o 13:56

\(\displaystyle{ 2\sin ^{2}x - cos ^{2}x = 2\sin ^ {2}x - (1 - \sin^{2}x) = 2\sin^{2}x + \sin^{2}x - 1 = 3\sin^{2}x - 1}\)

I teraz sobie rozpisujesz:
\(\displaystyle{ -1 \le \sin x \le 1\\
0 \le \sin^{2}x \le 1\\
0 \le 3\sin^{2}x \le 3\\
-1 \le 3\sin^{2}x - 1 \le 2\\}\)

Wiec najmniejsza wartosc to -1, a najwieksza to 2.
Dalej tak samo.

Pierwszą tożsamość jeszcze popróbuj. Natomiast aby udowodnić drugą tożsamość, zacznij od prawej strony, bedzie znacznie łatwiej.

Przybysz · Post autor: **Przybysz** » 18 gru 2011, o 18:37

a te dwa pozostałe przykłady z wartością najmniejsza i największa ?

reszte juz jakos mi sie udało dzieki

Post autor: **loitzl9006** » 18 gru 2011, o 18:49

podobnie jak pierwszy. Korzystasz z jedynki trygonometrycznej, by ujednolicić funkcje trygonometryczne (np. tak, by w zapisie występowały same sinusy). Potem łatwo ocenisz min. i max. wartość.

arbeiten100 · Post autor: **arbeiten100** » 19 gru 2011, o 13:29

\(\displaystyle{ 5-3\sin^2x-2\cos^2x=5-3\sin^2x-2+\sin^2x=3-\sin^2x}\)
max=3, min=2

\(\displaystyle{ 0,5\cos^2x+3\sin^2x=0,5-0,5\sin^2x+3\sin^2x=0,5+2,5\sin^2x}\)

max=3, min=0,5