Dziedzina arcsin

[fyflong]

Witam, mam pytanie, co robię nie tak.

1. Podać dziedziny funkcji
c) \(\displaystyle{ f(x)=\arcsin \frac{2}{x}}\)

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x \neq 0}\)

\(\displaystyle{ f(x)=\arcsin \frac{2}{x}\\
-1 \le \frac{2}{x} \le 1}\)

\(\displaystyle{ -1 \le \frac{2}{x} | \cdot x\\
-x \le 2 |:(-1)\\
x \ge -2}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{x} \le 1 | \cdot x\\
2 \le x\\
x \ge 2}\)

Odp: \(\displaystyle{ \{x: x \ge 2\}}\)

Jednakże odpowiedź brzmi: \(\displaystyle{ \{x: x \le -2 \mbox{ lub }x \ge 2\}}\).

Proszę o wyjaśnienie gdzie popełniam błąd, bo powiem szczerze, ze nie mam pojęcia. Dzięki, pozdrawiam.

[Jan Kraszewski]

Błąd jest prosty: nie możesz bezrefleksyjnie mnożyć obu stron nierówności przez \(\displaystyle{ x}\), bo nie wiesz, jaki jest jego znak.

JK

[fyflong]

W liceum o czymś takim nie słyszałem i tego typu zadania wyliczałem dobrze. Nie mam pojęcia jak inaczej można to rozwiązać, bo nie potrafię dostrzec możliwości wyznaczenia \(\displaystyle{ x}\) inaczej, jak tylko mnożąc go obustronnie przez \(\displaystyle{ x}\), celem pozbycia się go z mianownika.
A poza tym myślałem, że skoro przed \(\displaystyle{ x}\) nie ma znaku minus, to jest to \(\displaystyle{ x}\) dodatni.

[Jan Kraszewski]

W liceum o czymś takim nie słyszałem i tego typu zadania wyliczałem dobrze. Nie mam pojęcia jak inaczej można to rozwiązać, bo nie potrafię dostrzec możliwości wyznaczenia \(\displaystyle{ x}\) inaczej, jak tylko mnożąc go obustronnie przez \(\displaystyle{ x}\), celem pozbycia się go z mianownika.

Pozostaje tylko załamać ręce nad poziomem nauczania w Twoim liceum.
Masz dwa wyjścia: albo rozważyć dwa przypadki, \(\displaystyle{ x<0}\) i \(\displaystyle{ x>0}\), albo przenieść wszystko na jedną stronę, sprowadzić do wspólnego mianownika i badać znak ilorazu.

A poza tym myślałem, że skoro przed \(\displaystyle{ x}\) nie ma znaku minus, to jest to \(\displaystyle{ x}\) dodatni.

To bardzo błędnie myślałeś. \(\displaystyle{ x}\) jest niewiadomą, a skoro jest niewiadomą, to nie wiadomo też, jaki ma znak. Znak minus bądź jego brak nie ma tu nic do rzeczy, \(\displaystyle{ -x}\) może spokojnie być dodatnie.

JK

[fyflong]

Nie za bardzo rozumiem o co chodzi. Nie wiem w jaki sposób rozważyć przypadki \(\displaystyle{ x<0}\) i \(\displaystyle{ x>0}\). Jeżeli chodzi o to drugie spróbowałem czegoś takiego (dla przykładu jedna z dwóch nierówności), ale to raczej działania po omacku.

\(\displaystyle{ -1 \le \frac{2}{x} \\
0 \le \frac{2}{x} +1 \\
0 \le \frac{2}{x} + \frac{x}{x} \\
0 \le \frac{2+x}{x}}\)

I teraz najchętniej pomnożyłbym przez \(\displaystyle{ x}\) i dostał to samo, co poprzednio. Nie wiem, jak zbadać znak ilorazu, ale z tego, co wyczytałem w googlach, to mnożymy licznik przez mianownik.

\(\displaystyle{ (2+x)x=2x+ x^{2}}\)

Więc znak dodatni. Dla drugiego równania (\(\displaystyle{ \frac{2}{x} \le 1}\)) znak wychodzi ujemny. Zakładając, że dobrze zrozumiałem, co mam zrobić, nadal nie wiem, co począć z tym dalej.

[Jan Kraszewski]

Nie za bardzo rozumiem o co chodzi. Nie wiem w jaki sposób rozważyć przypadki \(\displaystyle{ x<0}\) i \(\displaystyle{ x>0}\).

Rozważałeś kiedykolwiek przypadki (w jakimś zadaniu)? Bo to dość standardowa procedura.

Jeżeli chodzi o to drugie spróbowałem czegoś takiego (dla przykładu jedna z dwóch nierówności), ale to raczej działania po omacku.

\(\displaystyle{ -1 \le \frac{2}{x} \\
0 \le \frac{2}{x} +1 \\
0 \le \frac{2}{x} + \frac{x}{x} \\
0 \le \frac{2+x}{x}}\)

Dobrze, o to chodzi.

I teraz najchętniej pomnożyłbym przez \(\displaystyle{ x}\) i dostał to samo, co poprzednio.

Ale nie wolno Ci, z tego samego powodu, co poprzednio.

Nie wiem, jak zbadać znak ilorazu, ale z tego, co wyczytałem w googlach, to mnożymy licznik przez mianownik.

\(\displaystyle{ (2+x)x=2x+ x^{2}}\)

Niezupełnie. Korzystamy z tego, że znak ilorazu dwóch czynników jest taki sam, jak znak ich iloczynu.
Masz zatem rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ 2x+x^2\ge 0}\).

Więc znak dodatni.

Co to znaczy "znak dodatni"? Masz rozwiązać nierówność.

Dla drugiego równania (\(\displaystyle{ \frac{2}{x} \le 1}\)) znak wychodzi ujemny.

Źle z tego samego powodu, co wyżej.

nadal nie wiem, co począć z tym dalej.

Rozwiążesz dwie nierówności, a ponieważ mają zachodzić obie równocześnie, więc weźmiesz część wspólną zbiorów ich rozwiązań i to będzie szukana dziedzina (po uwzględnieniu założenia \(\displaystyle{ x\neq 0}\)).

JK

[fyflong]

Chyba jakiś ciemny jestem, bo nadal mi nie wychodzi.

\(\displaystyle{ 0 \le \frac{2+x}{x}}\)
\(\displaystyle{ (2+x)x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 2+x \ge 0 \wedge x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x \ge -2}\)

\(\displaystyle{ \frac{2-x}{x} \le 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{2-x}{x} \le 0}\)
\(\displaystyle{ (2-x) \le 0 \wedge x \le 0}\)
\(\displaystyle{ -x \le -2 | \cdot (-1)}\)
\(\displaystyle{ x \ge 2}\)

\(\displaystyle{ x \ge 0 \wedge x \ge -2 \wedge x \ge 2 \wedge x \le 0}\)

Więc wyszło mi rzeczywiste bez zera. Co zrobiłem nie tak?

[Jan Kraszewski]

Chyba jakiś ciemny jestem, bo nadal mi nie wychodzi.

\(\displaystyle{ 0 \le \frac{2+x}{x}}\)
\(\displaystyle{ (2+x)x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 2+x \ge 0 \wedge x \ge 0}\)

Dobry człowieku, nie rozwiązywałeś nigdy nierówności kwadratowych?

JK

[fyflong]

Rzeczywiście, to już było niepoważne.

\(\displaystyle{ (2+x)x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x \in (- \infty ;-2> \cup <0; \infty )}\)

\(\displaystyle{ (2-x)x \le 0}\)
\(\displaystyle{ x \in (- \infty ;0> \cup <2; \infty )}\)

Czyli o ile się nie mylę wyszło dobrze.

[Jan Kraszewski]

Dobrze, jak weźmiesz teraz przekrój tych dwóch zbiorów, to wyjdzie Ci to, co masz w odpowiedziach.

JK

[fyflong]

Czyli zawsze, jak mam jakąś nierówność \(\displaystyle{ a>x>b}\) (nie wiem jak to poprawnie nazwać), to postępuję w taki sposób?

-- 18 gru 2011, o 14:00 --

Niestety mam problem z kolejnym zadaniem.

Dziedzina \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{3+\arctan 2x}}\)

\(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{2} \le 2x \le \frac{ \pi }{2}}\)

\(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{2} \le 2x| \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ - \pi \le 4x |:4}\)
\(\displaystyle{ x \ge - \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ 2x \le \frac{ \pi }{2} | \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ 4x \le \pi |:4}\)
\(\displaystyle{ x \le \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ 3+\arctan 2x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \arctan 2x \ge -3}\)

Dalej kompletnie nie wiem co z tym począć.