arcus sinus

[ja_goodka]

Mam problem z (pewnie trywialnym) zadaniem.
Trzeba obliczyć \(\displaystyle{ \arcsin\left(\sin \frac{\pi}{5}\right)}\) , mi wychodzi na to, że to będzie po prostu \(\displaystyle{ \frac{\pi}{5}}\), ale nie wiem czy się nie mylę.

drugi przykład to \(\displaystyle{ \sin\left(\arcsin \frac{2}{7}\right)}\) no i tu już nie wiem, czy to liczyć po kolei (najpierw arcusa), czy to też będzie to \(\displaystyle{ \frac{2}{7}}\).

trzeci przykład to \(\displaystyle{ \cos\left(\2arcsin \frac{4}{5}\right)}\), to bym policzyła po kolei, z tym, że takie zadania mają być na kole i nie wiem jak miałabym to policzyć bez tablic?

[Psiaczek]

trzeci przykład to \(\displaystyle{ \cos\left( 2arcsin \frac{4}{5} \right)}\), to bym policzyła po kolei, z tym, że takie zadania mają być na kole i nie wiem jak miałabym to policzyć bez tablic?

przypominam wzór \(\displaystyle{ \cos 2 \alpha =1-2\sin^2 \alpha}\)

Niech \(\displaystyle{ y=\arcsin \frac{4}{5}}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ \sin y= \frac{4}{5}}\) oraz że \(\displaystyle{ y \in \left[ - \frac{ \pi }{2} ,\frac{ \pi }{2} \right]}\) - tu akurat to ostatnie nie jest najważniejsze, ale w innych tego typu zadaniach może być ważne więc wypisuję.

Mamy zatem \(\displaystyle{ \cos \left( 2\arcsin \frac{4}{5}\right) =\cos 2y=1-2\sin^2 y=1-2\left( \frac{4}{5} \right) ^2=1- \frac{32}{25} =- \frac{7}{25}}\)

[ja_goodka]

Dzięki.
A może ktoś powiedzieć, czy te dwa pierwsze dobrze kombinuję?