Arkusy - wyznacz dziedzine

[jolo90]

\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \log _{2\cos x}\left(9-x ^{2} \right) + \log arc \sin \left( x+ 2x ^{2} \right)+ \sqrt{ \sqrt{x ^{2}+1 } -x}}\)
1. \(\displaystyle{ 2\cos x>0}\)
2. \(\displaystyle{ 2\cos x \neq 1}\)
3. \(\displaystyle{ 9-x ^{2} >0}\)
4. \(\displaystyle{ -1 \le x+2x ^{2} \le 1}\)
5. \(\displaystyle{ x ^{2} +1 >0}\)
6. \(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2} +1} - x >0}\)
Mam pytanie. Czy dobrze wypisalem zalożenia i czy wszystkie wypisałem?

[Lbubsazob]

Jeszcze powinieneś mieć założenie
\(\displaystyle{ \arc\sin\left( x+2x^2\right)>0}\)
(to, co jest pod drugim logarytmem)

Liczba pod pierwiastkiem musi być większa lub równa zero, czyli
\(\displaystyle{ x^2+1\ge 0 \\ \sqrt{x ^{2} +1} - x \ge 0}\)
(chociaż to pierwsze i tak nie będzie równe 0)

[jolo90]

MOglbym prosic o pomoc w rozwiazaniu zalozenia nr 5, 6 i tego o ktorym zapomnialem bo kompletnie nie wiem jak to zrobic.

[Lbubsazob]

Założenie nr 5 od razu widać, że zawsze jest spełnione, ponieważ \(\displaystyle{ x^2}\) jest zawsze \(\displaystyle{ \ge 0}\), a jak dodamy do tego 1, to tym bardziej.

Co do założenia 6:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+1}\ge x}\)
Lewa strona jest na pewno dodatnia. Prawa może być dodatnia lub ujemna:
- jeżeli jest dodatnia, to możemy podnieść stronami do kwadratu i otrzymujemy \(\displaystyle{ x^2+1>x^2}\)
- jeżeli jest ujemna, to nierówność jest zawsze spełniona

I ostatnie:
Po podstawieniu \(\displaystyle{ t=2x^2+x}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \arc\sin t>0}\), czyli \(\displaystyle{ t\in \left( 0,1\right>}\). Wystarczy więc rozwiązać podwójną nierówność:
\(\displaystyle{ 0<2x^2+x\le 1}\)

[jolo90]

D: \(\displaystyle{ x \in <- \frac{5}{2}, -1) \cup (0, \frac{1}{2})}\)
Coś takiego mi wyszło. Pewnie źle ale warto zapytać:p

[Lbubsazob]

1) \(\displaystyle{ x\in\left( -\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2} +k\pi\right)}\)
2) \(\displaystyle{ x \neq \frac{\pi}{3}+2k\pi \wedge x \neq \frac{5}{3}\pi+2k\pi}\)
3) \(\displaystyle{ x\in(-3,3)}\)
4) \(\displaystyle{ x\in \left< -1,\frac{1}{2}\right>}\)
5) \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\)
6) \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\)
7) \(\displaystyle{ x\in \left< -1,-\frac{1}{2}\right) \wedge \left(0,\frac{1}{2} \right>}\)

Po zsumowaniu tego wszystkiego wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ x\in \left<-1,- \frac{1}{2} \right) \cup \left( 0,\frac{1}{2}\right>}\)
ale nie gwarantuję, że nigdzie nie ma błędu

[jolo90]

wielkie dzieki.