funkcja wymierna oraz trygonometria

[Tmkk]

Proszę o sprawdzenie tego zadania. Nie pamietam dokładnie treści, ale sens był mniej wiecej taki:

Kiedy \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{2(x^{2}+1)} = \cos \frac{\alpha}{2}}\) ma rozwiazania.

Zrobiłem to tak:

Z tego co widze (pewnie z pochodnych funkcji mozna obliczyc, ale tego nie miałem), asymptotą \(\displaystyle{ f_{(x)} = \frac{x^{2}}{2(x^{2}+1)}}\) jest prosta o rownaniu \(\displaystyle{ y = \frac{1}{2}}\). Najmniejsza wartosc to 0, więc \(\displaystyle{ ZW = <0 ; \frac{1}{2} >}\)

Czyli
\(\displaystyle{ 0 \le \cos \frac{\alpha}{2} \le \frac{1}{2}\\
\\\frac{\alpha}{2} \in < -\frac{ \pi }{2} + 2k \pi ; -\frac{ \pi }{3} +2k \pi> \vee < \frac{ \pi }{3} + 2k \pi ; \frac{ \pi }{2} +2k \pi>\\
\alpha \in < -\pi + 4k \pi ; -\frac{ 2\pi }{3} +4k \pi> \vee < \frac{2 \pi }{3} + 4k \pi ; \pi +4k \pi>}\)

Dzieki.

[kamil13151]

Lewą stronę przekształcamy do: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( 1- \frac{1}{x^2+1} \right)}\). Oczywiście zero to najmniejsza wartość, teraz wyznaczmy największą, widać, że będzie to wtedy kiedy iks będzie największy: \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{1}{2}\left( 1- \frac{1}{x^2+1} \right)= \frac{1}{2}}\), tej wartości nie przyjmie, stąd przedział wartości lewej strony to \(\displaystyle{ left[0; frac{1}{2}
ight)}\).

[Tmkk]

No tak, wiadomo, asymptoty nigdy nie przetnie. O tym myślałem, a napisałem co innego ;p

Reszta jest dobrze?

[kamil13151]

Błędu nie widzę . Popraw tylko przedziały.