układ równan trygonometrycznych

[sintom]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos ( x) + \cos ( x+y) = 0 \\ \cos ( y) + \cos ( x+y) = 0 \end{cases}}\)

z pierwszego równania wychodzi mi, że:
\(\displaystyle{ \cos ( x+y) = - \cos ( x)}\)

podstawiając do drugiego równania mam:

\(\displaystyle{ \cos ( y) - \cos ( x) = 0}\)

czyli \(\displaystyle{ x = y}\).

Wracając teraz do drugiego równania i podstawiając \(\displaystyle{ x = y}\) mam:
\(\displaystyle{ \cos ( x) + \cos ( x + x) = 0}\)

czyli

\(\displaystyle{ \cos ( x) = - \cos ( 2x)}\)

\(\displaystyle{ \cos ( x) = \cos ( -2x)}\)

Jak to rozwiązać? Może źle zaczynam?
Proszę o pomoc.

Dodam, że wystarczy mi rozwiązanie w okolicy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)

[kamil13151]

Skorzystaj z:
\(\displaystyle{ \cos 2 x = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos^2 x - (1 - \cos^2 x)}\)

Jednak nie pasuje mi:

\(\displaystyle{ cos(y) - cos(x) = 0}\)

czyli x = y.

Wg. mnie jest to błędne, bo np. \(\displaystyle{ x=y+2\pi}\) też jest prawdziwe.

Także zacznij od początku i rozpisz \(\displaystyle{ \cos (x+y)}\).

[sintom]

w zasadzie jak napisałem szukam rozwiązania w okolicy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)
więc podany przypadek \(\displaystyle{ x=y+2/pi}\) nawet nie brałem pod uwagę (dla uproszczenia).

Próbowałem również tak:
\(\displaystyle{ cos(x+y)= cosxcosy - sinxsiny}\)

Wtedy dostaje taki uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases} cos(x) + cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) = 0\\ cos(y) + cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) = 0\end{cases}}\)

I odejmując równania od siebie dostaję:
\(\displaystyle{ cos(x)-cos(y)=0}\) czyli nadal \(\displaystyle{ cos(x)=cos(y)}\)

Natomiast korzystając z:
\(\displaystyle{ \cos 2 x = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos^2 x - (1 - \cos^2 x)}\)

i podstawiając do pierwszego równania dostaje:
\(\displaystyle{ 2cos^{2}(x) + cos(x)-1=0}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ t=cos(x)}\)
Dostaję równanie kwadratowe z którego otrzymuję dwa t:
\(\displaystyle{ t_{1} = 1}\)
\(\displaystyle{ t_{2} = -\frac{1}{2}}\)

więc \(\displaystyle{ cos(x)=-\frac{1}{2}}\) czyli w okolicy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) najbliżej mam do \(\displaystyle{ x=\frac{2}{3}\pi}\)

W książce w rozwiązaniu jest, że \(\displaystyle{ x=y=\frac{\pi}{3}}\)

[kamil13151]

Z równania kwadratowego mamy takie wyniki: \(\displaystyle{ t_1=-1}\) lub \(\displaystyle{ t_2= \frac{1}{2}}\), jednak \(\displaystyle{ \cos x = \frac{1}{2}}\) w tej okolicy, której szukasz będzie to \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{3}}\).

[sintom]

Dzieki... zle sobie wziąłem wzór na \(\displaystyle{ t_{1}}\)
Mianowicie \(\displaystyle{ t_{1}=\frac{b- \sqrt{\Delta} }{2a}}\) zamiast \(\displaystyle{ t_{1}=\frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a}}\).

Teraz wszystko gra.
Dzięki.