Równanie trygonometryczne i nierówność

[matolek1993]

Rozwiąż w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0,2 \pi \right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{3} x \cdot (1+\ctg x)+ \cos^{3}x \cdot (1+\tg x)=\cos 2x}\)
zamieniam \(\displaystyle{ \ctg=\frac{\cos}{\sin}}\) i \(\displaystyle{ \tg=\frac{\sin}{\cos}}\) i wymnażam:
\(\displaystyle{ \sin^{3} x+\sin ^{2}x \cdot \cos x +\cos^{3}x + \cos^{2}x \cdot \sin x=\cos 2x}\)
wyciągam przed nawias i mam:
\(\displaystyle{ \sin \cdot (\sin^{2}x + \cos^{2}x) + \cos x \cdot (\sin^{2}x+\cos^{2}x)=\cos 2x}\)
\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \cos 2x}\)
I nie wiem co dalej z tym zrobić...Zamienić \(\displaystyle{ \cos 2x= 1-2\sin^{2}}\) i podnieść do kwadratu? A może inny pomysł?
2. Zadanie: nierówność:
Rozwiąż w \(\displaystyle{ \left\langle 0,2 \pi \right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x \le \cos x}\)
\(\displaystyle{ 2\sin x \cos x - \cosx \le 0}\)
\(\displaystyle{ \cos x \cdot (2\sin x-1) \le 0}\)
I cholercia jak to dalej rozwiązywać? (może należy rozwiązać to inaczej? Wiem że mógłbym to zrobić na
rysunku, ale to nie o to raczej chodzi w zadaniu )

[chris_f]

W pierwszym dobrze myślisz, że trzeba by coś zrobić z tym \(\displaystyle{ \cos2x}\), tyle, że z innej wersji tego wzoru
\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \cos 2x}\)
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=\cos^2x-\sin^2x}\)
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}\)
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x-(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)=0}\)
\(\displaystyle{ (\cos x+\sin x)(1-\cos x+\sin x)=0}\)
no i dalej chyba wiadomo.
W drugim rozbij to na alternatywę
\(\displaystyle{ \cos x<0\wedge 2\sin x-1\ge0\vee \cos x\ge0\wedge 2\sin x-1<0}\)
i dalej też już chyba jasne.