równanie trygonoetryczne

[bartosz00999]

1.)\(\displaystyle{ 2 \sin ^2x{}+ \sin ^2{}\left(2x\right)=0}\)
2.) \(\displaystyle{ 3\tg \left( \frac{x}{2}- \frac{ \pi }{6}\right)=- \sqrt{3}}\)

[Tmkk]

1) Ok, patrze, ze edytowałeś. Wiec:
\(\displaystyle{ 2 \sin ^2x{}+ \sin ^2{}\left(2x\right)=0 \\
2\sin ^{2}x -1 + \sin ^{2}\left(2x\right) = -1 \\
- \left(1 - 2\sin ^{2}x\right) + \sin ^{2}\left(2x\right) = -1\\
- \cos 2x + \sin ^{2}\left(2x\right) = -1 \\}\)
Dalej już nic trudnego.


2) Podziel przez 3 i dalej juz chyba widac.

[bartosz00999]

mam prosbe mozesz rozwiazac to do konca bo nie jestem pewien czy dobrze mi wychodzi.

[Tmkk]

\(\displaystyle{ 3\tg \left( \frac{x}{2}- \frac{ \pi }{6}\right)=- \sqrt{3}\\
\tg \left( \frac{x}{2}- \frac{ \pi }{6}\right)= - \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

tangens jest ujemny w II i IV cwiartce wiec:

\(\displaystyle{ \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{6} = \frac{5 \pi }{6} + 2k \pi \vee \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{6} = \frac{- \pi }{6} + 2k \pi \\
\frac{x}{2} = \pi + 2k \pi \vee \frac{x}{2} = 0 + 2k \pi \\
x = 2\pi + 4k \pi \vee x = 4k \pi}\)

A drugie:
\(\displaystyle{ - \cos 2x + \sin ^{2}\left(2x\right) = -1 \\
\left(1 - \cos ^{2}2x\right) - \cos 2x = - 1 \\
-\cos ^{2}2x -\cos 2x = -2 \\
\cos 2x = t\\
\\-t^{2} - t + 2 = 0\\
-\left(t + 2\right)\left(t - 1\right) = 0 \\
\cos 2x = -2 \vee \cos 2x = 1\\

\\2x = 2k \pi \\
x = k \pi}\)

cos2x = -2 nie rozpatrujesz, bo \(\displaystyle{ \cos x \in \left[ -1 ; 1\right]}\)