ciekawe i trudne równanie trygonometryczne

margas603 · Post autor: **margas603** » 8 gru 2011, o 21:48

Mam do rozwiązanie równanie:

\(\displaystyle{ \sin x +2 \sin^2 x + 3 \sin^3 x+ ... = \frac{1}{2} \left( \tg \frac{x}{2} + \ctg \frac{x}{2} \right)}\)

Niestety lewa strona równania to ani szereg geometryczny ani żaden ciąg, wiem ze istnieje wzór zastępujący lewą strone mojego równania ale nie mam dostepnej literatury na ten temat. Pomoze ktos?

aalmond · Post autor: **aalmond** » 8 gru 2011, o 21:55

Wyłącz \(\displaystyle{ \tg x}\) przed nawias po lewej stronie

margas603 · Post autor: **margas603** » 8 gru 2011, o 22:05

\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x} ( \cos x + 2\cos x\sin x+3\cos x \sin^2x + ...)}\)
Chyba nadal tego nie widzę...

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 8 gru 2011, o 22:12

Wzór mogę ci podać : dla \(\displaystyle{ -1<y<1}\) zachodzi

\(\displaystyle{ y+2y^2+3y^3+...= \frac{y}{(1-y)^2}}\)

prosty jest dowód jeśli można używać szeregów potęgowych, elementarnie też da się udowodnić ale nieco dłużej.

margas603 · Post autor: **margas603** » 8 gru 2011, o 22:50

Dzieki sliczne
Rozwiąznaia równania w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0,3\pi \right\rangle}\)
to : \(\displaystyle{ { \frac{\pi}{6} , \frac{5\pi}{6}, \frac{13 \pi }{6} , \frac{17\pi}{6} }}\)
Jesli komus by się chciało je rozwiązać i sprawdzic...?

aalmond · Post autor: **aalmond** » 8 gru 2011, o 23:34

Sprowadza się to do równania:

\(\displaystyle{ \sin x = \frac{1}{2}}\)

Wyniki masz dobre.