1. Udowodnij, że jeżeli w trójkącie zachodzi równość \(\displaystyle{ a\cdot \sin\alpha+b\cdot \sin \beta=c\cdot\sin\gamma}\), to trójkąt ten jest prostokątny.
2. Udowodnij, że jeżeli kwadraty sinusów kątów trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny, to kwadraty odpowiednich boków tego trójkąta również tworzą ciąg arytmetyczny.
twierdzenie sinusów-2 udowodnienia
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
twierdzenie sinusów-2 udowodnienia
1. Zał: \(\displaystyle{ a \sin + b \sin \beta=c \sin \gamma}\)
Teza: \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\)
D-d:
Z tw. sinusów wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{a}{ \sin }= \frac{b}{ \sin \beta}=\frac{c}{ \sin \gamma}}\). Mamy z tego, że \(\displaystyle{ \sin \beta=\frac{b}{a} \sin , \sin \gamma=\frac{c}{a} \sin }\). Wstawiając to do założenia otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a \sin + \frac{b^2}{a} \sin = \frac{c^2}{a} \sin \\ \sin =0 a+ \frac{b^2}{a} =\frac{c^2}{a}}\)
Pierwsze równanie jest sprzeczne, bo żaden kąt w trójkącie go nie spełnia, czyli \(\displaystyle{ a+ \frac{b^2}{a}=\frac{c^2}{a}}\). Mnożąc obustronnie przez a, otrzymujemy tezę zadania, czyli \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\).
Teza: \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\)
D-d:
Z tw. sinusów wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{a}{ \sin }= \frac{b}{ \sin \beta}=\frac{c}{ \sin \gamma}}\). Mamy z tego, że \(\displaystyle{ \sin \beta=\frac{b}{a} \sin , \sin \gamma=\frac{c}{a} \sin }\). Wstawiając to do założenia otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a \sin + \frac{b^2}{a} \sin = \frac{c^2}{a} \sin \\ \sin =0 a+ \frac{b^2}{a} =\frac{c^2}{a}}\)
Pierwsze równanie jest sprzeczne, bo żaden kąt w trójkącie go nie spełnia, czyli \(\displaystyle{ a+ \frac{b^2}{a}=\frac{c^2}{a}}\). Mnożąc obustronnie przez a, otrzymujemy tezę zadania, czyli \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\).
Ostatnio zmieniony 30 sty 2007, o 20:48 przez Tristan, łącznie zmieniany 3 razy.
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
twierdzenie sinusów-2 udowodnienia
Dokładnie tak. Aczkolwiek ja sobie przemnażam od razu przez 2, aby nie było ułamków
2. Zał.: \(\displaystyle{ \sin^2 + \sin^2 \gamma=2\sin^2 \beta}\)
Teza: \(\displaystyle{ a^2+ c^2=2b^2}\)
D-d:
Korzystając z tw. sinusów mamy\(\displaystyle{ \sin \beta=\frac{b}{a} \sin , \sin \gamma=\frac{c}{a} \sin }\). Wstawiając to do naszego założenia otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin^2 + \frac{c^2}{a^2} \sin^2 =2 \frac{b^2}{a^2} \sin^2 \\ \sin^2 =0 1+ \frac{c^2}{a^2}=2 \frac{b^2}{a^2}}\)
Pierwsze równanie oczywiście nie zachodzi, więc mnożąc drugie przez \(\displaystyle{ a^2}\) otrzymujemy tezę zadania, czyli \(\displaystyle{ a^2+c^2=2b^2}\).
2. Zał.: \(\displaystyle{ \sin^2 + \sin^2 \gamma=2\sin^2 \beta}\)
Teza: \(\displaystyle{ a^2+ c^2=2b^2}\)
D-d:
Korzystając z tw. sinusów mamy\(\displaystyle{ \sin \beta=\frac{b}{a} \sin , \sin \gamma=\frac{c}{a} \sin }\). Wstawiając to do naszego założenia otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin^2 + \frac{c^2}{a^2} \sin^2 =2 \frac{b^2}{a^2} \sin^2 \\ \sin^2 =0 1+ \frac{c^2}{a^2}=2 \frac{b^2}{a^2}}\)
Pierwsze równanie oczywiście nie zachodzi, więc mnożąc drugie przez \(\displaystyle{ a^2}\) otrzymujemy tezę zadania, czyli \(\displaystyle{ a^2+c^2=2b^2}\).
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
twierdzenie sinusów-2 udowodnienia
Nie widzę nigdzie, by \(\displaystyle{ \sin }\) był w mianowniku. Chodzi oczywiście o to, że jeśli \(\displaystyle{ \sin^2 =0}\), to \(\displaystyle{ \sin =0}\). A żaden kąt z przedziału \(\displaystyle{ ( 0; \pi)}\) nie spełnia tego równania.