Udowodnij, że

[Xerias]

1.Udowodnij, że iloczyn sinusów kątów ostrych trójkąta prostokątnego jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy ten trójkąt jest równoramienny. Wiem, że \(\displaystyle{ \sin{45}= \frac{\sqrt{2}}{2}}\) ale nie wiem jak to uzasadnić, że inaczej być nie może.

2. Udowodnij, że iloczyn sinusów kątów ostrych kąta prostego jest mniejszy lub równy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}.}\)
Też wiem, że tak jest ale nie wiem jak to uzasadnić:(

[tometomek91]

1. W lewo oczywiste, bo \(\displaystyle{ \sin{ \frac{\pi}{4} }=\frac{\sqrt{2}}{2}}\). W prawo: Niech te kąty ostre to \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) wtedy \(\displaystyle{ \sin{\alpha}=\frac{a}{c}}\) oraz \(\displaystyle{ \sin{\beta}= \frac{b}{c}}\) i z założenia \(\displaystyle{ \frac{ab}{c^2}=\frac{1}{2}}\) skąd \(\displaystyle{ 2ab=c^2=a^2+b^2}\) i dalej \(\displaystyle{ (a-b)^2=0}\) czyli \(\displaystyle{ a=b}\) o co chodziło.