Równanie trygonometryczne
-
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 30 wrz 2011, o 00:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 71 razy
Równanie trygonometryczne
Siema!
Mam następujący przykład :
\(\displaystyle{ \sin \left( 2x+ \frac{ \pi }{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć na tym przykładzie jak się rozwiązuje tego typu równania? bo mam sporo takich zadań do zrobienia a jak na razie sam nie potrafię tego rozkminić :/
Z góry thx za odp!
Mam następujący przykład :
\(\displaystyle{ \sin \left( 2x+ \frac{ \pi }{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć na tym przykładzie jak się rozwiązuje tego typu równania? bo mam sporo takich zadań do zrobienia a jak na razie sam nie potrafię tego rozkminić :/
Z góry thx za odp!
Ostatnio zmieniony 3 gru 2011, o 18:54 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 Instrukcji LaTeX-a.
Powód: Punkt 2.7 Instrukcji LaTeX-a.
-
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 30 wrz 2011, o 00:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 71 razy
Równanie trygonometryczne
czyli :
\(\displaystyle{ \sin \left( t \right) = \frac{ \sqrt{2}}{2}}\)
i teraz narysować sobie normalny wykres sinusa , odczytać z niego dla jakich argumentów (czyli \(\displaystyle{ t}\) ) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) , te wartości te przyrównać do tego za co było podstawione i wyliczyć \(\displaystyle{ x}\) ?
Z góry thx za odp!
\(\displaystyle{ \sin \left( t \right) = \frac{ \sqrt{2}}{2}}\)
i teraz narysować sobie normalny wykres sinusa , odczytać z niego dla jakich argumentów (czyli \(\displaystyle{ t}\) ) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) , te wartości te przyrównać do tego za co było podstawione i wyliczyć \(\displaystyle{ x}\) ?
Z góry thx za odp!
Ostatnio zmieniony 3 gru 2011, o 18:57 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 Instrukcji LaTeX-a.
Powód: Punkt 2.7 Instrukcji LaTeX-a.
-
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 30 wrz 2011, o 00:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 71 razy
Równanie trygonometryczne
ok tamten przykład udało mi się rozwiązać ale z następnym mam już problemy
\(\displaystyle{ 2sin^{2}(4x)-3sin(4x)=2}\)
\(\displaystyle{ t=sin4x}\)
\(\displaystyle{ 2t^{2}-3t-2=0}\)
\(\displaystyle{ t_{1}=-\frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ t_{2}=2}\)
\(\displaystyle{ sin4x=-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 4x=- \frac{ \pi }{6}+2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{ \pi }{4}+ \frac{k \pi }{2}}\)
i z obliczeniem x dla tego t nie miałem problemu bo po prostu looknąłem do tabelki wartość \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) zamieniłem to na \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}+2k \pi}\)
ale w jaki sposób obliczyć
\(\displaystyle{ sin4x=2}\) jeżeli takiej wartości dla sin nie ma w tabelce? coś słyszałem o jakiś wzorach redukcyjnych ale szczerze mówiąc nie za bardzo wiem jak jest stosować....Czy ktoś mógłby mi powiedzieć jak to zrobić? Z góry thx!
aa sorka co ja pisze przecież \(\displaystyle{ t}\) musi należeć do przedziału \(\displaystyle{ <-1,1>}\) więc 2 odpada i liczę jeszcze jeden x dla \(\displaystyle{ 4x= \pi -(- \frac{ \pi }{6} )+2k \pi}\) ?
i mam jeszcze pytanie odnośnie następnego zadania :
\(\displaystyle{ 2sin( \frac{\pi }{6}-x)= -\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ sin( \frac{\pi }{6}-x)= - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
i teraz :
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}-x=-\frac{ \pi }{3}+2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}-2k \pi}\) a w odp. jest \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+2k \pi}\)
Co robię źle?
\(\displaystyle{ 2sin^{2}(4x)-3sin(4x)=2}\)
\(\displaystyle{ t=sin4x}\)
\(\displaystyle{ 2t^{2}-3t-2=0}\)
\(\displaystyle{ t_{1}=-\frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ t_{2}=2}\)
\(\displaystyle{ sin4x=-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 4x=- \frac{ \pi }{6}+2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{ \pi }{4}+ \frac{k \pi }{2}}\)
i z obliczeniem x dla tego t nie miałem problemu bo po prostu looknąłem do tabelki wartość \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) zamieniłem to na \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}+2k \pi}\)
ale w jaki sposób obliczyć
\(\displaystyle{ sin4x=2}\) jeżeli takiej wartości dla sin nie ma w tabelce? coś słyszałem o jakiś wzorach redukcyjnych ale szczerze mówiąc nie za bardzo wiem jak jest stosować....Czy ktoś mógłby mi powiedzieć jak to zrobić? Z góry thx!
aa sorka co ja pisze przecież \(\displaystyle{ t}\) musi należeć do przedziału \(\displaystyle{ <-1,1>}\) więc 2 odpada i liczę jeszcze jeden x dla \(\displaystyle{ 4x= \pi -(- \frac{ \pi }{6} )+2k \pi}\) ?
i mam jeszcze pytanie odnośnie następnego zadania :
\(\displaystyle{ 2sin( \frac{\pi }{6}-x)= -\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ sin( \frac{\pi }{6}-x)= - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
i teraz :
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}-x=-\frac{ \pi }{3}+2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}-2k \pi}\) a w odp. jest \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+2k \pi}\)
Co robię źle?
Ostatnio zmieniony 4 gru 2011, o 00:46 przez kuba199201, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 844
- Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 156 razy
Równanie trygonometryczne
Sinus przyjmuje wartości od -1 do 1, nigdy nie przyjmuje wartości 2 choćby nie wiem co. Dlatego takie rozwiazanie najzwyczajniej w swiecie odrzucasz
-
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 30 wrz 2011, o 00:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 71 razy
Równanie trygonometryczne
Właśnie przed chwilą edytowałem posta powyżej bo kapnąłem się jaki jestem ułomny
Mam jeszcze pytanie odnośnie następnego przykładu bo też mi coś nie wychodzi :
\(\displaystyle{ 2sin( \frac{\pi }{6}-x)= -\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ sin( \frac{\pi }{6}-x)= - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
i teraz :
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}-x=-\frac{ \pi }{3}+2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}-2k \pi}\) a w odp. jest \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+2k \pi}\)
Co robię źle?
Mam jeszcze pytanie odnośnie następnego przykładu bo też mi coś nie wychodzi :
\(\displaystyle{ 2sin( \frac{\pi }{6}-x)= -\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ sin( \frac{\pi }{6}-x)= - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
i teraz :
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}-x=-\frac{ \pi }{3}+2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}-2k \pi}\) a w odp. jest \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+2k \pi}\)
Co robię źle?
-
- Użytkownik
- Posty: 844
- Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 156 razy
Równanie trygonometryczne
dla \(\displaystyle{ k \in Z}\) nieważne czy zapiszesz tak: \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+2k \pi}\) czy tak: \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}-2k \pi}\) i tak wyjdzie na to samo Bo w obu przypadkach mozesz uzyskac te same wartosci podstawiajac pod \(\displaystyle{ k}\) liczby przeciwne do siebie. Wiec to naprawde obojetne w ktory sposob zapiszesz odpowiedz, oba sa poprawne.
-
- Użytkownik
- Posty: 23493
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3263 razy
Równanie trygonometryczne
Powinieneś mieć dwie serie rozwiązań.kuba199201 pisze:
i teraz :
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}-x=-\frac{ \pi }{3}+2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}-2k \pi}\)
Co robię źle?
-
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 30 wrz 2011, o 00:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 71 razy
Równanie trygonometryczne
no i kolejny przykład i kolejny problem
\(\displaystyle{ tgx \cdot cos^{2}x= \frac{1}{2}}\)
a więc :
\(\displaystyle{ \frac{sinx}{cos} \cdot cos_{2}x= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sinx \cdot cosx= \frac{1}{2}}\) podnoszę do kwadratu...
\(\displaystyle{ sin^{2}x \cdot cos^{2}x= \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x \cdot (1-sin^{2}x)= \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x - sin^{4}x - \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ t=sin^{2}x}\)
\(\displaystyle{ t-t^{2}-\frac{1}{4}=0}\)
\(\displaystyle{ t= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sinx= \frac{1}{ \sqrt{2}}= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+2k \pi}\)
a w odp. jest \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+k\pi}\)
Co znowu robię źle ? Z góry thx!
\(\displaystyle{ tgx \cdot cos^{2}x= \frac{1}{2}}\)
a więc :
\(\displaystyle{ \frac{sinx}{cos} \cdot cos_{2}x= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sinx \cdot cosx= \frac{1}{2}}\) podnoszę do kwadratu...
\(\displaystyle{ sin^{2}x \cdot cos^{2}x= \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x \cdot (1-sin^{2}x)= \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x - sin^{4}x - \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ t=sin^{2}x}\)
\(\displaystyle{ t-t^{2}-\frac{1}{4}=0}\)
\(\displaystyle{ t= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sinx= \frac{1}{ \sqrt{2}}= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+2k \pi}\)
a w odp. jest \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+k\pi}\)
Co znowu robię źle ? Z góry thx!
-
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 30 wrz 2011, o 00:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 71 razy
Równanie trygonometryczne
mam jeszcze jedno pytanie odnośnie powyższego przykładu tzn. dlaczego na końcu jest tylko jedna odp. i nie rozważam jeszcze możliwości \(\displaystyle{ 2x= \pi- \frac{ \pi }{2} + 2k \pi}\)??? Bo we wszystkich pozostałych przykładach które robiłem trzeba było coś takiego robić.... Z góry thx za odp!
-
- Użytkownik
- Posty: 23493
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3263 razy
Równanie trygonometryczne
Końcowe odpowiedzi w książce (już coś na ten temat było wyżej) są przekształcone do ,,najprostszej postaci" - wcale nie musisz takiej uzyskać.
-
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 30 wrz 2011, o 00:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 71 razy
Równanie trygonometryczne
ok jeszcze muszę Was pomęczyć
\(\displaystyle{ sin(2x- \frac{ \pi }{6})- \frac{1}{2} (sin \frac{3 \pi }{2}) =0}\)
\(\displaystyle{ sin(2x- \frac{ \pi }{6})- \frac{1}{2} (sin2 \pi - \frac{ \pi }{2} )=0}\)
\(\displaystyle{ sin(2x- \frac{ \pi }{6})- \frac{1}{2} (sin- \frac{ \pi }{2} )=0}\)
kąt \(\displaystyle{ sin( \frac{3 \pi }{2})}\) leży w 3 ćwiartce układy współrzędnych więc znika minus i :
\(\displaystyle{ sin(2x- \frac{ \pi }{6})- \frac{1}{2} (sin\frac{ \pi }{2} )=0}\)
\(\displaystyle{ sin(2x- \frac{ \pi }{6})- \frac{1}{2} \cdot 1 =0}\)
\(\displaystyle{ sin(2x- \frac{ \pi }{6})= \frac{1}{2}}\)
no i wyliczając z tego x wychodzi mi całkiem co innego niż jest w odp. :/
W odp. jest (\(\displaystyle{ x=k \pi}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}+k \pi}\))
Co robię źle? Z góry thx za odp!
\(\displaystyle{ sin(2x- \frac{ \pi }{6})- \frac{1}{2} (sin \frac{3 \pi }{2}) =0}\)
\(\displaystyle{ sin(2x- \frac{ \pi }{6})- \frac{1}{2} (sin2 \pi - \frac{ \pi }{2} )=0}\)
\(\displaystyle{ sin(2x- \frac{ \pi }{6})- \frac{1}{2} (sin- \frac{ \pi }{2} )=0}\)
kąt \(\displaystyle{ sin( \frac{3 \pi }{2})}\) leży w 3 ćwiartce układy współrzędnych więc znika minus i :
\(\displaystyle{ sin(2x- \frac{ \pi }{6})- \frac{1}{2} (sin\frac{ \pi }{2} )=0}\)
\(\displaystyle{ sin(2x- \frac{ \pi }{6})- \frac{1}{2} \cdot 1 =0}\)
\(\displaystyle{ sin(2x- \frac{ \pi }{6})= \frac{1}{2}}\)
no i wyliczając z tego x wychodzi mi całkiem co innego niż jest w odp. :/
W odp. jest (\(\displaystyle{ x=k \pi}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}+k \pi}\))
Co robię źle? Z góry thx za odp!
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Równanie trygonometryczne
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} ( \sin \frac{3 \pi }{2}) = \frac{1}{2} \sin 270^{\circ}=- \frac{1}{2}}\)