rozwiaz rownanie

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
primabalerina01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 387
Rejestracja: 13 gru 2009, o 14:58
Płeć: Kobieta
Podziękował: 86 razy

rozwiaz rownanie

Post autor: primabalerina01 »

Prosze o pomoc w roziwazniu.

a)\(\displaystyle{ cosx-sinx= \frac{1}{cosx} / \cdot cosx}\)
\(\displaystyle{ cos ^{2}x-sinxcosx-1}\)
\(\displaystyle{ sin ^{2}x-sinxcosx}\)

I nie wiem jak dalej ??

I prosze o sprawdzenie rozwiazan dwoch przykładow(jezeli sie rozwiazania nie zgadadzaja to rozpisze jak to rozwiązałam)

b)\(\displaystyle{ sin ^{4}x+cos ^{4}x=1}\)
Wyszło mi że \(\displaystyle{ x=k \pi \vee x= \frac{ \pi }{2}+2k \pi}\)
c)\(\displaystyle{ 4sin ^{2}x-sin ^{2}2x=1}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+k \pi}\)
kolorowe skarpetki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 400
Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdynia
Pomógł: 64 razy

rozwiaz rownanie

Post autor: kolorowe skarpetki »

Zadanie 1

\(\displaystyle{ \cos x - \sin x = \frac{1}{\cos x} \quad \big / \cdot \cos x \\ \cos^2 x - \cos x \sin x -1 =0 \\ \cos ^2 x - \cos x \sin x - \sin^2 x - \cos ^2 x=0 \quad \big / \cdot (-1) \\ \cos x \sin x+\sin ^2 x = 0\\ \sin x (\cos x +\sin x)=0}\)

I teraz wystarczy skorzystać, że iloczyn dwóch składników jest równy zero, jeśli co najmniej jeden z nich jest zerem. Nie zapomnij o założeniach.
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

rozwiaz rownanie

Post autor: chris_f »

w a) dochodzisz do postaci
\(\displaystyle{ \cos^2x-\sin x\cos x-1=0}\)
\(\displaystyle{ -\sin^2x-\sin x\cos x=0}\)
\(\displaystyle{ -\sin x(\sin x+\cos x)=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x=0\vee \sin x+\cos x=0}\)
no a dalej wiadomo.
w b) brakuje w rozwiązaniu serii \(\displaystyle{ \frac32\pi+2k\pi}\) (nie masz rozwiązań, gdzie \(\displaystyle{ \cos x=0\wedge \sin x=-1}\)
w c) OK.
Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 475 razy

rozwiaz rownanie

Post autor: Psiaczek »

Cześć,
a)

założenie:\(\displaystyle{ \cos x \neq 0}\)

\(\displaystyle{ \cos x -\sin x= \frac{1}{\cos x}}\)

\(\displaystyle{ \cos^2 x-\sin x\cos x=1}\)

\(\displaystyle{ 1-\sin^2 x-\sin x\cosx=1}\)

\(\displaystyle{ sin^2x+\sin x\cos x=0}\)

\(\displaystyle{ \sin x(\sin x+\cos x)=0}\)

tutaj ci piszą dalej wiadomo ale ja cię znam więc rozpiszę:
teraz korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ \sin x+\cos x=\sin x+\sin \left( \frac{ \pi }{2} -x\right)= \sqrt{2}\cos \left( \frac{ \pi }{4}-x \right)}\)

czyli masz alternatywę \(\displaystyle{ \sin x=0 \vee \cos \left( \frac{ \pi }{4}-x \right)=0}\), i sprawdź czy nie zahacza o założenia jak już ci radzono.


b) skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2}\), wstawisz \(\displaystyle{ a=\sin x,b=\cos x}\) i dostaniesz równanie:(bo jedynka trygonometryczna )

\(\displaystyle{ 1-2\sin^2 x\cos^2 x=1}\) redukujemy jedynki i mnożymy przez \(\displaystyle{ -2}\)

\(\displaystyle{ 4\sin^2 x\cos^2 x=0}\)

\(\displaystyle{ (2\sin x\cos x)^2=0}\) kwadrat liczby zero to liczba też zero

\(\displaystyle{ 2\sin x\cos x=0}\)

\(\displaystyle{ \sin 2x=0}\)

\(\displaystyle{ 2x=k \pi ;k \in Z}\)


c) ktoś napisał że OK, czyżby?

\(\displaystyle{ 4\sin^2 x-(2\sin x\cos x)^2=1}\)

\(\displaystyle{ 4\sin^2 x-4\sin^2 x\cos^2 x=1}\)

\(\displaystyle{ 4\sin^2 x(1-\cos^2 x)=1}\)

\(\displaystyle{ 4\sin^4 x=1}\)

\(\displaystyle{ \sin^4 x= \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ \sin x= \frac{ \sqrt{2} }{2} \vee \sin x=- \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

rozwiaz rownanie

Post autor: chris_f »

Ups, zapomniałem o czwórce po lewej i do jedynki przyrównywałem.
ODPOWIEDZ