Obliczenie wartości arcusów

[matekk91]

Witam. Mam problem z obliczeniem tych wartości.
a) \(\displaystyle{ \cos(\arcsin1)}\)
b) \(\displaystyle{ \arccos(\cos \frac{11}{10}\pi)}\)
c) \(\displaystyle{ \tg(\arccos \frac{\sqrt2}{2})}\)
d) \(\displaystyle{ \sin(\arccos( \frac{9}{11}))}\)
e) \(\displaystyle{ \arctan(\tg \frac{5\pi}{3})}\)
f) \(\displaystyle{ \tg(\arcsin \frac{1}{2})}\)
g) \(\displaystyle{ \tg(\arcsin \frac{1}{5})}\)
i) \(\displaystyle{ \sin(\arctan\frac{1}{4})}\)
j) \(\displaystyle{ \arccos(\cos \frac{5\pi}{3})}\)
k) \(\displaystyle{ \cos(\arccos( \frac{9}{11}))}\)

Proszę o szybką pomoc.

[kropka+]

a)
\(\displaystyle{ \arcsin 1= \alpha \Rightarrow \sin \alpha =1 \Rightarrow \alpha = \frac{ \pi }{2} \Rightarrow
\cos(\arcsin1)= \cos \frac{ \pi }{2}=0}\)

Pozostałe punkty robi się analogicznie.

[matekk91]

No ok, tylko, że ja tego nie rozumiem kompletnie ;/ Jak to się robi?

[kropka+]

Arcusy to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych, czyli wartością arcusa jest kąt. Rozpisałam przykład, to go przeanalizuj.

[matekk91]

Oki powoli pojmuję to
A jeśli mam taki przykład \(\displaystyle{ \tan(\arcsin \frac{1}{5})}\), więc \(\displaystyle{ \sin\alpha= \frac{1}{5}}\) i co dalej? W tablicy nie ma kąta \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\).

[kropka+]

Skorzystaj, z tego

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \\ \\
\cos \alpha = \sqrt{1-\sin ^{2} \alpha }}\)

[matekk91]

Czyli jeśli \(\displaystyle{ \sin\alpha= \frac{1}{5}}\) to \(\displaystyle{ \cos\alpha=\sqrt{1- (\frac{1}{5}) ^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha= \frac{2\sqrt{6}}{5}}\), czyli
\(\displaystyle{ \tan\alpha= \frac{ \frac{1}{5} }{ \frac{2\sqrt{6}}{5} }= \frac{1}{2\sqrt{6}}}\)

Kalkulator mi mówi, że dobrze, czy tak rzeczywiście jest?

[kropka+]

Tak jest. Przecież jest wzór nazywany "jedynka trygonometryczna" czyli

\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha =1}\)

[matekk91]

Moja wiedza z matematyki po technikum jest niestety niewielka

Jeszcze mam problem z tym \(\displaystyle{ \arccos(\cos \frac{5\pi}{3})}\), jak to zacząć? Co zastosować?

[kropka+]

To jest złożenie funkcji prostej i odwrotnej, więc wynik jest oczywisty - pomyśl.

[matekk91]

Masz zapewne na myśli \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{3}}\), właśnie tak myślałem, ale patrzę na własności i coś się nie zgadza, a własność, którą zapisałem na ćwiczeniach brzmi tak \(\displaystyle{ \arccos(\cos x)=x}\) \(\displaystyle{ \forall x \in<0, \pi>}\)

[kropka+]

Masz rację. Funkcje trygonometryczne są jednak okresowe, czyli znajdziesz taki kąt \(\displaystyle{ \alpha \in [0, \pi ]}\), który będzie miał taki sam cosinus. Jaki to kąt?

[matekk91]

Nie mam pojęcia...

[kropka+]

Musisz znać wzory redukcyjne (wpisz w google "funkcje trygonometryczne" i wejdź na wikipedię).
Tutaj korzystamy z tego:
\(\displaystyle{ \cos (2 \pi - \alpha )=\cos \alpha}\)

[matekk91]

Wyszło mi coś takiego \(\displaystyle{ \cos(2\pi- \frac{5\pi}{3})=\cos( \frac{6\pi}{3}- \frac{5\pi}{3})=\cos \frac{\pi}{3}= \frac{1}{2}}\), czyli
\(\displaystyle{ \arccos \frac{1}{2}= \frac{\pi}{3}}\)