wyznaczyć funkcję odwrotną

[Moorai]

wyznaczyć funkcję odwrotną oraz jej dziedzinę

\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{\sin^{2}x+1}}\)
dla \(\displaystyle{ x \in (0, \frac{ \pi }{2} )}\)

moja próba:
\(\displaystyle{ y= \sqrt{\sin^{2}x+1}}\)

\(\displaystyle{ y^{2}=\sin^{2}x+1}\)

\(\displaystyle{ x+1=\arc\sin^{2}y^{2}}\)

\(\displaystyle{ x=\arc\sin^{2}y^{2}-1}\)

\(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\) to \(\displaystyle{ y=\arc\sin^{2}x^{2}-1}\)

[octahedron]

\(\displaystyle{ y= \sqrt{\sin^{2}x+1}\\
y\in\left[1;\sqrt{2}\right]\\
y^2=\sin^{2}x+1\\
y^2-1=\sin^{2}x\\
\sqrt{y^2-1}=\sin x\\
\arcsin\sqrt{y^2-1}=x\\
f^{-1}(x)=\arcsin\sqrt{x^2-1}}\)

[Moorai]

\(\displaystyle{ y\in\left[1;\sqrt{2}\right]\\}\)

to jest dziedzina tej funkcji odwrotnej? Jak ją wyznaczyłeś?

[Psiaczek]

\(\displaystyle{ y\in\left[1;\sqrt{2}\right]\\}\)

to jest dziedzina tej funkcji odwrotnej? Jak ją wyznaczyłeś?

dziedzina funkcji odwrotnej to zbiór wartości funkcji wyjściowej. Został on jednak wyznaczony niepoprawnie, gdyż dla
\(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)}\) mamy

\(\displaystyle{ 0<\sin x<1}\)

\(\displaystyle{ 0<\sin^2 x<1}\)

\(\displaystyle{ 1< \sin^2 x+1<2}\)

\(\displaystyle{ 1< \sqrt{\sin^2 x+1} < \sqrt{2}}\)

a więc zbiór wartości to \(\displaystyle{ (1, \sqrt{2})}\)

[Moorai]

Rozumiem, kolejnym punktem zadania jest uzasadnić że pierwsza funkcja jest różnowartościowa.

jeszcze raz funkcja pierwsza:
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{\sin^{2}x+1}}\)
\(\displaystyle{ x \in (0, \frac{ \pi }{2} )}\)

Wiem że funkcja jest różnowartościowa bo w podanym przedziale jest tylko rosnąca.

PS. Czy w ogóle możliwe jest narysowanie wykresu \(\displaystyle{ f(x)=\sin^{2}x}\) ? program rysujący wykresy nie chce przyjąć takiej funkcji.

[octahedron]

Może programowi pasuje tak: \(\displaystyle{ f(x)=(\sin(x))^2}\)

[Moorai]

mam jeszcze jeden przykład, prosto z zajęć.

\(\displaystyle{ y= \cos(3x)+1}\)

\(\displaystyle{ y-1= \cos3x \ \ \ /:3}\)

\(\displaystyle{ \frac{y-1}{3} = \cos x}\)

\(\displaystyle{ \arccos \frac{y}{3} - \frac{1}{3}=x}\)

\(\displaystyle{ y= \arc\cos \frac{x}{3}- \frac{1}{3}}\)

Profesorce nie spodobał się fragment z dzieleniem przez 3, bo np.
\(\displaystyle{ \ \cos 90^{\circ} / :3 \ \neq \cos30^{\circ}}\)

więc poprawiłem to na:

\(\displaystyle{ y-1= \cos3x}\)

\(\displaystyle{ \arccos (y-1)=3x /:3}\)

\(\displaystyle{ \arccos \frac{(y-1)}{3}=x}\)

\(\displaystyle{ y= \arccos \frac{(x-1)}{3}}\)

Co myślicie?

[octahedron]

\(\displaystyle{ y=\cos 3x+1\\
\cos 3x=y-1\\
3x=\arccos(y-1)\\
x=\frac{1}{3}\arccos(y-1)\\
y=\frac{1}{3}\arccos(x-1)}\)